Encontre a solução geral do sistema dado.
Passo 1
A questão pede a solução geral do sistema de equações diferenciais de 1ª ordem
X'=A,X , com
Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para sistemas lineares constantes.
Passo 2
Para começar, calculamos o polinômio característico de
A . Montamos
Fazendo as operações, obtemos
.
Passo 3
Dessa fatoração, os autovalores são
Passo 4
Para
lambda1=-2 , resolvemos
(A+2I)v=0 . Isso leva ao sistema
Logo
x1=0 e
x2+x3=0 . Um autovetor conveniente é
Passo 5
Para o par complexo
lambda=2i , resolvemos
(A-2iI)w=0 . Encontramos um vetor complexo
Escrevendo
w=alpha+ibeta , temos
Passo 6
Pela teoria, as soluções reais associadas a
pm2i são
E a solução do autovalor real é
Passo 7
Por fim, a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
onde
alpha=(-2,1,1)^T e
beta=(-2,0,0)^T , e
C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.
Resposta
X(t)=C_{1}e{-2t}\begin{pmatrix}0\1\-1\end{pmatrix}+C_{2}\bigl[(-2,1,1){T}\cos2t-(-2,0,0){T}\sin2t\bigr]+C_{3}\bigl[(-2,1,1){T}\sin2t+(-2,0,0)^{T}\cos2t\bigr], com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.