Encontre a solução geral do sistema dado.
X^prime=(rrr2 & 4 & 4 -1 & -2 & 0 -1 & 0 & -2) X

Passo 1

A questão pede a solução geral do sistema de equações diferenciais de 1ª ordem X'=A,X, com
A=2 & 4 & 4 -1 & -2 & 0 -1 & 0 & -2
Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para sistemas lineares constantes.

Passo 2

Para começar, calculamos o polinômio característico de A. Montamos
det(A-lambda I)=det2-lambda & 4 & 4 -1 & -2-lambda & 0 -1 & 0 & -2-lambda
Fazendo as operações, obtemos
det(A-lambda I)=-(lambda+2)(lambda^2+4)
.

Passo 3

Dessa fatoração, os autovalores são
lambda1=-2, lambda2,3=pm2,i

Passo 4

Para lambda1=-2, resolvemos (A+2I)v=0. Isso leva ao sistema
4x1+4x2+4x3=0, -x1=0, -x1=0
Logo x1=0 e x2+x3=0. Um autovetor conveniente é
v=(0,1,-1)^T

Passo 5

Para o par complexo lambda=2i, resolvemos (A-2iI)w=0. Encontramos um vetor complexo
w=(-2-2i,,1,,1)^T
Escrevendo w=alpha+ibeta, temos
alpha=(-2,1,1)^T, beta=(-2,0,0)^T

Passo 6

Pela teoria, as soluções reais associadas a pm2i são
X2(t)=e^0,tl(alphacos2t-betasin2tr), X3(t)=e^0,tl(alphasin2t+betacos2tr)
E a solução do autovalor real é
X1(t)=e^-2t(0,1,-1)^T

Passo 7

Por fim, a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
X(t)=C1,e^-2t01-1 + C2l(alphacos2t-betasin2tr) + C3l(alphasin2t+betacos2tr),
onde alpha=(-2,1,1)^T e beta=(-2,0,0)^T, e C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t)=C_{1}e{-2t}\begin{pmatrix}0\1\-1\end{pmatrix}+C_{2}\bigl[(-2,1,1){T}\cos2t-(-2,0,0){T}\sin2t\bigr]+C_{3}\bigl[(-2,1,1){T}\sin2t+(-2,0,0)^{T}\cos2t\bigr], com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.

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