Considere o espaço vetorial
.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
.
ii.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
ii.
Passo 1
Queremos mostrar que a aplicação \(x,y)\mapsto \|(x,y)\|_2 = |x|^2 + |y|^2\ não satisfaz todas as propriedades de uma norma em \mathbb{R}^2\.
Passo 2
Em primeiro lugar, recordamos a definição de norma \|\cdot\\ em um espaço vetorial:
- (positiva) \|v\| \ge 0\ e \|v\| = 0\ se e somente se v = 0.
- (homogeneidade) Para todo escalar \alpha e vetor v, \|\alpha v\| = |\alpha|\,\|v\|.
- (desigualdade triangular) Para quaisquer vetores u e v, \|u + v\| \le \|u\| + \|v\|.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade de homogeneidade para a função dada. Tomemos um escalar qualquer \alpha \in \mathbb{R}\ e um vetor v = (x,y). Então
Passo 4
Porém, a homogeneidade exigida para norma seria \|\alpha v\| = |\alpha|\,\|v\|, não \|\alpha v\|_2 = |\alpha|^2\,\|v\|_2. Como, na maioria dos casos, |\alpha|^2 \neq |\alpha|, a propriedade falha.
Logo, a função \|(x,y)\|_2 = |x|^2 + |y|^2 não satisfaz a homogeneidade e, portanto, não é norma em \mathbb{R}^2\.
Logo, a função \|(x,y)\|_2 = |x|^2 + |y|^2 não satisfaz a homogeneidade e, portanto, não é norma em \mathbb{R}^2\.
Resposta
A função falha na propriedade de homogeneidade (\|\alpha v\|_2 \neq |\alpha|\,\|v\|_2), logo não define norma em \mathbb{R}^2\.