Considere o espaço vetorial
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Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
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i.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função $ ||(x, y)||_{1} = |x| $ não é uma norma no espaço vetorial $ \mathbb{R}^{2} $. Para isso, vamos precisar entender o que é uma norma e quais propriedades ela deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, uma norma em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
- Positividade: $ ||v|| \geq 0 $ e $ ||v|| = 0 $ se e somente se $ v $ for o vetor zero.
- Homogeneidade: $ ||\alpha v|| = |\alpha| \cdot ||v|| $ para todo escalar $ \alpha $.
- Desigualdade Triangular: $ ||u + v|| \leq ||u|| + ||v|| $.
- Separação: Se $ ||v|| = 0 $, então $ v $ é o vetor zero.
Vamos verificar se a função $ ||(x, y)||_{1} = |x| $ cumpre todas essas propriedades.
Passo 3
1. Positividade:
$ ||(x, y)||{1} = |x| $ é sempre maior ou igual a zero, já que o valor absoluto nunca é negativo. Além disso, se $ ||(x, y)||{1} = 0 $, então $ |x| = 0 $, o que implica que $ x = 0 $.
$ ||(x, y)||{1} = |x| $ é sempre maior ou igual a zero, já que o valor absoluto nunca é negativo. Além disso, se $ ||(x, y)||{1} = 0 $, então $ |x| = 0 $, o que implica que $ x = 0 $.
2. Homogeneidade:
Para qualquer escalar $ \alpha $, temos:
$ ||\alpha (x, y)||{1} = ||(\alpha x, \alpha y)||{1} = |\alpha x| = |\alpha| \cdot |x| = |\alpha| \cdot ||(x, y)||_{1} $.
Então, a homogeneidade é satisfeita.
Para qualquer escalar $ \alpha $, temos:
$ ||\alpha (x, y)||{1} = ||(\alpha x, \alpha y)||{1} = |\alpha x| = |\alpha| \cdot |x| = |\alpha| \cdot ||(x, y)||_{1} $.
Então, a homogeneidade é satisfeita.
3. Desigualdade Triangular:
Vamos checar se $ ||(x_1 + x_2, y_1 + y_2)||{1} \leq ||(x_1, y_1)||{1} + ||(x_2, y_2)||_{1} $.
Vamos checar se $ ||(x_1 + x_2, y_1 + y_2)||{1} \leq ||(x_1, y_1)||{1} + ||(x_2, y_2)||_{1} $.
Calculando cada lado:
- Lado esquerdo: $ ||(x_1 + x_2, y_1 + y_2)||_{1} = |x_1 + x_2| $
- Lado direito: $ ||(x_1, y_1)||{1} + ||(x_2, y_2)||{1} = |x_1| + |x_2| $
Pela desigualdade triangular dos números reais, sabemos que $ |x_1 + x_2| \leq |x_1| + |x_2| $, então essa propriedade também é satisfeita.
4. Separação:
Se $ ||(x, y)||{1} = |x| = 0 $, então $ x = 0 $. Porém, isso não garante que $ y = 0 $. Por exemplo, o vetor $ (0, 1) $ não é o vetor zero, mas $ ||(0, 1)||{1} = 0 $.
Se $ ||(x, y)||{1} = |x| = 0 $, então $ x = 0 $. Porém, isso não garante que $ y = 0 $. Por exemplo, o vetor $ (0, 1) $ não é o vetor zero, mas $ ||(0, 1)||{1} = 0 $.
Passo 4
Aqui está o problema: a propriedade de separação não foi atendida, já que existem vetores diferentes do vetor zero que têm norma zero segundo nossa função $ ||\cdot||_{1} = |x| $. Isso significa que essa função não pode ser considerada uma norma em $ \mathbb{R}^{2} $.
Resposta
A função $ ||(x, y)||_{1} = |x| $ não é uma norma em $ \mathbb{R}^{2} $ porque não satisfaz a propriedade de separação.