Considere o espaço vetorial V=R^2 com as operações usuais.
(a) (0.75 ponto) Mostre que U=(x, y) in R^2 ; x=2 y é um subespaço vetorial de R^2.
(b) ( 0.75 ponto) Mostre que W=(x, y) in R^2 ; y=0 é um subespaço vetorial de R^2.
(c) (1 ponto) Mostre que R^2=U oplus W.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^2 com as operações usuais e pede:
(a) mostrar que
U = (x,y)inR^2 : x = 2y
é subespaço de R^2;
(b) mostrar que
W = (x,y)inR^2 : y = 0
é subespaço de R^2;
(c) provar que
R^2 = U oplus W
Para isso vamos usar o teste de subespaço (contém o vetor zero, fechado em soma e escalar) e, depois, mostrar que U+W=R^2 e Ucap W=(0,0).

Passo 2

Verificação de que U é subespaço de R^2.
  1. O vetor zero (0,0) pertence a U pois 0 = 2cdot0.
  2. Fechamento em soma: dado (x1,y1),(x2,y2)in U, temos x1=2y1 e x2=2y2. Então
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,;y1+y2,) = l(2y1+2y2,;y1+y2r) = l(2(y1+y2),,y1+y2r)in U
  1. Fechamento em escalar: dado (x,y)in U com x=2y e lambdainR,
lambda,(x,y) = (lambda x,lambda y) = l(lambdacdot2y,lambda yr) = l(2(lambda y),,lambda yr)in U
Logo U satisfaz o teste de subespaço.

Passo 3

Verificação de que W é subespaço de R^2.
  1. O vetor zero (0,0) pertence a W pois sua segunda componente é zero.
  2. Soma: se (x1,0) e (x2,0) estão em W, então
(x1,0)+(x2,0) = (,x1+x2,;0+0,) = (x1+x2,0)in W
  1. Escalar: para lambdainR e (x,0)in W,
lambda,(x,0) = (lambda x,;0)in W
Portanto W também é subespaço.

Passo 4

Mostramos que U+W=R^2. Seja (a,b)inR^2. Queremos (a,b)=u+w com uin U, win W.
Escolhemos
u = (2b,b)in U, w = (,a-2b,,0)in W
Então
u+w = (2b,b) + (a-2b,0) = (,2b+a-2b,;b+0,) = (a,b)
Assim todo (a,b) é soma de um vetor de U e um de W, logo U+W=R^2.

Passo 5

Mostramos que Ucap W=(0,0). Se (x,y)in Ucap W então, por (x,y)in W, vem y=0, e como (x,y)in U temos x=2y=0. Logo o único vetor comum é (0,0).

Resposta

(a) U é subespaço de R^2.
(b) W é subespaço de R^2.
(c) Como U+W=R^2 e Ucap W=(0,0), concluímos que
R^2 = U oplus W

Exercícios relacionados