Considere o espaço vetorial
com as operações usuais.
(a) (0.75 ponto) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) ( 0.75 ponto) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(c) (1 ponto) Mostre que
.
(a) (0.75 ponto) Mostre que
(b) ( 0.75 ponto) Mostre que
(c) (1 ponto) Mostre que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais e pede:
(a) mostrar que
(a) mostrar que
é subespaço de
;
(b) mostrar que
(b) mostrar que
é subespaço de
;
(c) provar que
(c) provar que
Para isso vamos usar o teste de subespaço (contém o vetor zero, fechado em soma e escalar) e, depois, mostrar que
e
.
Passo 2
Verificação de que
é subespaço de
.
- O vetor zero
pertence a pois . - Fechamento em soma: dado
, temos e . Então
- Fechamento em escalar: dado
com e ,
Logo
satisfaz o teste de subespaço.
Passo 3
Verificação de que
é subespaço de
.
- O vetor zero
pertence a pois sua segunda componente é zero. - Soma: se
e estão em , então
- Escalar: para
e ,
Portanto
também é subespaço.
Passo 4
Mostramos que
. Seja
. Queremos
com
,
.
Escolhemos
Escolhemos
Então
Assim todo
é soma de um vetor de
e um de
, logo
.
Passo 5
Mostramos que
. Se
então, por
, vem
, e como
temos
. Logo o único vetor comum é
.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) é subespaço de
.
(c) Como e
, concluímos que
(b)
(c) Como