Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:
(I) a(b u)=(a b) u
(II) (a+b) u=a u+b u.

Passo 1

O enunciado diz que, em qualquer espaço vetorial (por exemplo R^n), dadas vetores u,v e escalares a,binR, queremos mostrar duas propriedades fundamentais da multiplicação por escalar:
  1. Associatividade do escalar:
a,(b,u) = (a,b),u
  1. Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
(a+b),u = a,u + b,u
Para provar, vamos recorrer à definição de multiplicação escalar componente a componente.

Passo 2

Seja u=(u1,u2,dots,un)inR^n. Por definição de multiplicação escalar em coordenadas temos:
b,u = (b,u1,;b,u2,;dots,;b,un)
Em seguida, multiplicar este resultado pelo escalar a
a,(b,u) = l(a,(b,u1),;a,(b,u2),;dots,;a,(b,un)r)

Passo 3

Pela propriedade associativa da multiplicação de números reais, a,(b,ui)=(a,b),ui para cada i. Logo
a,(b,u) = l((a,b),u1,;(a,b),u2,;dots,;(a,b),unr) = (a,b),(u1,u2,dots,un) = (a,b),u
Isso prova a propriedade (I).

Passo 4

Agora, usando a mesma ideia, comece calculando
(a+b),u = l((a+b),u1,;(a+b),u2,;dots,;(a+b),unr)
Pela distributividade da multiplicação real sobre soma, (a+b),ui = a,ui + b,ui. Assim
(a+b),u = l(a,u1 + b,u1,;a,u2 + b,u2,;dots,;a,un + b,unr)
Agrupando coordenadas, isso é
(a,u1,dots,a,un) + (b,u1,dots,b,un) = a,u + b,u,
o que estabelece a propriedade (II).

Resposta

As duas afirmativas são verdadeiras e refletem, respectivamente, a associatividade da multiplicação por escalar e a distributividade dessa multiplicação sobre a soma de escalares.

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