Propriedades da Multiplicação por Escalar
Se
e
são vetores quaisquer e
e
números reais, temos:
(I)
(II)
.
Se
(I)
(II)
Passo 1
O enunciado diz que, em qualquer espaço vetorial (por exemplo
), dadas vetores
e escalares
, queremos mostrar duas propriedades fundamentais da multiplicação por escalar:
- Associatividade do escalar:
- Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
Para provar, vamos recorrer à definição de multiplicação escalar componente a componente.
Passo 2
Seja
. Por definição de multiplicação escalar em coordenadas temos:
Em seguida, multiplicar este resultado pelo escalar
dá
Passo 3
Pela propriedade associativa da multiplicação de números reais,
para cada
. Logo
Isso prova a propriedade (I).
Passo 4
Agora, usando a mesma ideia, comece calculando
Pela distributividade da multiplicação real sobre soma,
. Assim
Agrupando coordenadas, isso é
o que estabelece a propriedade (II).
Resposta
As duas afirmativas são verdadeiras e refletem, respectivamente, a associatividade da multiplicação por escalar e a distributividade dessa multiplicação sobre a soma de escalares.