Leia as afirmações abaixo com atenção. Determine se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso em que a afirmação é verdadeira, demonstre a afirmação. No caso em que a afirmação é falsa, encontre um contra-exemplo.
(a) (1 ponto) O conjunto munido das operações
onde e , é um espaço vetorial.
(b) (0.5 ponto) As matrizes e B=[ccc1 & -2 & 7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1] são inversas uma da outra.
(c) (0.5 ponto) A matriz
é invertível.
(d) (0.5 ponto) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n vale a propriedade
det(A+B)=det A+det B
(e) ( 0.5 ponto) Se quaisquer matrizes quadradas A e B invertíveis de ordem n, tem-se que
(A B)^- 1=B^-1 A^-1
(f) (0.5 ponto) O sistema de equações lineares com matriz aumentada [cccc|c4 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0] é um sistema possível e determinado.
(g) (0.5 ponto) A quádrupla ( -5,4,8,0 ) é solução do sistema do item anterior.
Passo 1
O exercício tem sete afirmações sobre espaços vetoriais, matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos, para cada item, decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for verdadeira, damos uma demonstração; se for falsa, fornecemos um contraexemplo.
Passo 2
(a) Verificamos a comutatividade de oplus. Tome, por exemplo, (x1,y1)=(1,2) e (x2,y2)=(3,4). Então
(1,2)oplus(3,4)=(2cdot1+2cdot3,;1+2)=(8,3),
(3,4)oplus(1,2)=(2cdot3+2cdot1,;3+4)=(8,7)
Como (8,3)neq(8,7), a adição não é comutativa. Logo, não é um espaço vetorial.
Contraexemplo: a ordem na soma importa.
Portanto (a) é Falsa.
Passo 3
(b) Calculemos AB com
A=1&2&30&1&20&0&1, B=1&-2&70&1&-20&0&1
Multiplicando,
AB= 1&0&6 0&1&0 0&0&1 neq I3
Assim B não é a inversa de A.
Portanto (b) é Falsa.
Passo 4
(c) Para
A= 1&-4&2&1 2&2&-5&2 3&1&3&3 0&3&1&0 ,
fazemos eliminação ou calculamos o determinante por expansão. Eliminando abaixo de a11=1, chega-se a um subdeterminante 3times3 com coluna toda zero, logo
det A=1cdot0=0
Como det A=0, a matriz é singular.
Portanto (c) é Falsa.
Passo 5
(d) A propriedade genérica de determinantes é det(A+B)neqdet A+det B. Por exemplo, para n=2, tome
A=I2, B=I2
Então
det(A+B)=det(2I2)=2^2=4, det A+det B=1+1=2,
logo não coincidem.
Portanto (d) é Falsa.
Passo 6
(e) Sabemos que, para matrizes invertíveis A e B,
(AB)(B^-1A^-1) = A,(BB^-1),A^-1 = A,I,A^-1 = I,
e de modo semelhante (B^-1A^-1)(AB)=I. Assim
(AB)^-1=B^-1A^-1
Portanto (e) é Verdadeira.
Passo 7
(f) O sistema tem 4 incógnitas x1,x2,x3,x4 e a matriz de coeficientes em forma escalonada revela 3 pivôs (linha 4 é nula). Logo o posto é 3, menor que 4, dando infinitas soluções. Não é determinado (único).
Portanto (f) é Falsa.
Passo 8
(g) Substituindo (x1,x2,x3,x4)=(-5,4,8,0) no sistema do item (f):
4x1+x2+2x3+3x4=4(-5)+4+2cdot8+3cdot0=0,
2x2 - x3=2cdot4-8=0,
x4=0
Todas as equações são satisfeitas.
Portanto (g) é Verdadeira.