Considere o espaço vetorial V=R^3 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Verifique se os subconjuntos W subset V abaixos são subespaços vetoriais de V :
W=(a, b, c) ; a+b+c=0

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 com as operações usuais e define o subconjunto
W = (a,b,c)inR^3 mid a + b + c = 0
O que queremos é verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério padrão de subespaço:
  1. o vetor zero deve pertencer a W;
  2. W deve ser fechado sob soma de vetores;
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Como
0 + 0 + 0 = 0,
vemos que (0,0,0) satisfaz a equação a+b+c=0, logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer em W, digamos
u = (a1,b1,c1), v = (a2,b2,c2),
com
a1 + b1 + c1 = 0 e a2 + b2 + c2 = 0
Então a soma é
u+v = (a1+a2,; b1+b2,; c1+c2)
e a soma das componentes dá
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2) = (a1+b1+c1) + (a2+b2+c2) = 0 + 0 = 0
Portanto u+v também satisfaz a condição e u+vin W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar. Seja u=(a,b,c)in W com a+b+c=0 e seja lambdainR. Então
lambda u = (lambda a,;lambda b,;lambda c)
e a soma das componentes é
lambda a + lambda b + lambda c = lambda,(a+b+c) = lambda cdot 0 = 0
Logo lambda uin W para todo lambda.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3.

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