Considere o espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Verifique se os subconjuntos
abaixos são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
com as operações usuais e define o subconjunto
O que queremos é verificar se
é subespaço de
. Para isso, usamos o critério padrão de subespaço:
- o vetor zero deve pertencer a
; -
deve ser fechado sob soma de vetores; -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. O vetor zero em
é
. Como
vemos que
satisfaz a equação
, logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer em
, digamos
com
Então a soma é
e a soma das componentes dá
Portanto
também satisfaz a condição e
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
com
e seja
. Então
e a soma das componentes é
Logo
para todo
.