Considere a função
tal que
. Mostre que
é bijetora e determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado define
dada por
Precisamos mostrar que
é injetora e sobrejetora (ou seja, bijetora) e, em seguida, encontrar sua inversa
.
Passo 2
Para provar que
é injetora, tomemos
tais que
Isto é,
Fazendo o produto em cruz:
Cancelando
e
em ambos os lados,
Logo
é injetora.
Passo 3
Para provar que
é sobrejetora e ao mesmo tempo obter a inversa, tomemos um
e resolvamos
para
. Multiplicando ambos os lados por
,
Como
, temos
e
Note que essa expressão nunca vale
(caso contrário levaria a
), então
. Portanto, para cada
existe exatamente um
tal que
. Assim
é sobrejetora e a inversa é
Resposta
A função
é bijetora e