Considere a função f: R-3 R--1 tal que f(x)=4-xx-3. Mostre que f é bijetora e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado define
f:Rsetminus3toRsetminus-1 dada por
f(x)=4-xx-3
Precisamos mostrar que f é injetora e sobrejetora (ou seja, bijetora) e, em seguida, encontrar sua inversa f^-1.

Passo 2

Para provar que f é injetora, tomemos x1,x2neq3 tais que
f(x1)=f(x2)
Isto é,
4-x1x1-3=4-x2x2-3
Fazendo o produto em cruz:
(4-x1)(x2-3)=(4-x2)(x1-3)
4x2-12 -x1x2+3x1 = 4x1-12 -x1x2+3x2
Cancelando -x1x2 e -12 em ambos os lados,
4x2 +3x1 =4x1 +3x2 Longrightarrow 4x2-3x2 =4x1-3x1 Longrightarrow x2=x1
Logo f é injetora.

Passo 3

Para provar que f é sobrejetora e ao mesmo tempo obter a inversa, tomemos um yinRsetminus-1 e resolvamos
y = 4-xx-3
para x. Multiplicando ambos os lados por (x-3),
y,(x-3)=4-x Longrightarrow yx -3y =4-x Longrightarrow yx + x =4+3y Longrightarrow x(y+1)=3y+4
Como yneq -1, temos y+1neq0 e
x=3y+4y+1
Note que essa expressão nunca vale 3 (caso contrário levaria a 4=3), então xinRsetminus3. Portanto, para cada yneq -1 existe exatamente um xneq3 tal que f(x)=y. Assim f é sobrejetora e a inversa é
f^-1(y)=3y+4,y+1,

Resposta

A função f é bijetora e
f^-1(y)=3y+4y+1, yinRsetminus-1

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