Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial :
Passo 1
Estamos no espaço vetorial M2(R), que tem dimensão 4. Dado um conjunto de 4 matrizes, elas geram M2(R) se, e somente se, forem linearmente independentes. Então nosso objetivo é testar a independência linear das matrizes
A1=1&00&1,, A2=1&10&1,, A3=0&01&1,, A4=0&11&2
Passo 2
Para testar independência, escrevemos
aA1 + bA2 + cA3 + dA4 = 02times2
e mapeamos cada matriz em R^4 pelo vetor l(A11,A12,A21,A22r). Assim
a + b = 0, b + d = 0, c + d = 0, a + b + c + 2d = 0
Passo 4
Resolvendo: da primeira equação a=-b. Da segunda d=-b. Da terceira c=-d=b. Substituindo na quarta,
(-b)+b + b +2(-b)=-b=0
implica b=0. Assim a=b=c=d=0, logo só existe a solução trivial.
Passo 5
Como encontramos apenas a combinação trivial, as quatro matrizes são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4. Portanto elas formam uma base de M2(R) e geram todo o espaço.
Resposta
Sim, as matrizes são linearmente independentes e, por terem quantidade igual à dimensão de M2(R), geram esse espaço.