Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R) :
[ll 1 & 0 0 & 1 ],[ll 1 & 1 0 & 1 ],[ll 0 & 0 1 & 1 ] e[ll 0 & 1 1 & 2 ]

Passo 1

Estamos no espaço vetorial M2(R), que tem dimensão 4. Dado um conjunto de 4 matrizes, elas geram M2(R) se, e somente se, forem linearmente independentes. Então nosso objetivo é testar a independência linear das matrizes
A1=1&00&1,, A2=1&10&1,, A3=0&01&1,, A4=0&11&2

Passo 2

Para testar independência, escrevemos
aA1 + bA2 + cA3 + dA4 = 02times2
e mapeamos cada matriz em R^4 pelo vetor l(A11,A12,A21,A22r). Assim
A1mapsto(1,0,0,1),; A2mapsto(1,1,0,1),; A3mapsto(0,0,1,1),; A4mapsto(0,1,1,2)

Passo 3

A combinação
a(1,0,0,1)+b(1,1,0,1)+c(0,0,1,1)+d(0,1,1,2)=(0,0,0,0)
gera o sistema de equações
a + b = 0, b + d = 0, c + d = 0, a + b + c + 2d = 0

Passo 4

Resolvendo: da primeira equação a=-b. Da segunda d=-b. Da terceira c=-d=b. Substituindo na quarta,
(-b)+b + b +2(-b)=-b=0
implica b=0. Assim a=b=c=d=0, logo só existe a solução trivial.

Passo 5

Como encontramos apenas a combinação trivial, as quatro matrizes são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4. Portanto elas formam uma base de M2(R) e geram todo o espaço.

Resposta

Sim, as matrizes são linearmente independentes e, por terem quantidade igual à dimensão de M2(R), geram esse espaço.

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