a) rx+2 y-2 z-t=0 2 x+4 y+z+t=0 x+2 y+3 z+2 t=0
b) rx+2 y-z+3 t=0 2 x-y+z-t=0 4 x+3 y-z+5 t=0
c) x-2 y-z & =0 2 x+y+3 z & =0 x+3 y+4 z & =0

Passo 1

O enunciado pede a solução dos três sistemas lineares homogêneos
a)
x+2y-2z-t=0, 2x+4y+z+t=0, x+2y+3z+2t=0
b)
x+2y - z+3t=0, 2x - y+z - t=0, 4x+3y - z+5t=0
c)
x-2y-z=0, 2x+y+3z=0, x+3y+4z=0
O conteúdo é eliminação de Gauss para sistemas homogêneos, encontrando variáveis livres, parametrizando e expressando o espaço solução.

Passo 2

Para o sistema a fazemos eliminação de Gauss:
2times (eq 1) -(eq 2) e (eq 3) -(eq 1) dão a mesma relação
5z+3t=0implies z=-tfrac35,t
Como só há duas equações independentes, temos duas variáveis livres, por exemplo y=s e t=r.
Da eq 1
x+2y-2z-t=0
x=-2y+2z+t=-2s+2l(-tfrac35rr)+r=-2s-tfrac15r
Logo a solução é
(x,y,z,t) = l(-2s-tfrac15r,;s,;-tfrac35r,;rr) =s,(-2,1,0,0)+rl(-tfrac15,0,-tfrac35,1r)
Para evitar frações, escolhemos r'=5r e obtemos a base
(-2,1,0,0),;(-1,0,-3,5)

Passo 3

Para o sistema b novamente eliminamos x. Da eq 1
x=-2y+z-3t
Substituindo na eq 2 e na eq 3 obtemos a mesma relação
-5y+3z-7t=0implies y=tfrac3z-7t5
Há, portanto, duas variáveis livres, digamos z=alpha e t=beta. Logo
y=tfrac3alpha-7beta5, x=-2y+alpha-3beta=-tfracalpha+beta5
Em parametricamente:
(x,y,z,t) =alphal(-tfrac15,tfrac35,1,0r) +betal(-tfrac15,-tfrac75,0,1r)
Multiplicando cada vetor por 5, a base do espaço solução é
(-1,3,5,0),;(-1,-7,0,5)

Passo 4

No sistema
Da eq e eq ambas dão
Então . Há apenas um grau de liberdade, digamos , e
A base do espaço solução é .

Resposta

a) Sol=Span(-2,1,0,0),,(-1,0,-3,5)
b) Sol=Span(-1,3,5,0),,(-1,-7,0,5)
c) Sol=Span(-1,-1,1)

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