Considere o espaço vetorial P2(R). Determine uma base para o subespaço vetorial:
W=p(x) in P2(R) mid p(-1)=0 e p^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço
W=p(x)=ax^2+bx+cin P2(R)mid p(-1)=0 e p'(1)=0
Precisamos expressar um polinômio genérico de grau <=2, impor as duas condições dadas e resolver o sistema para encontrar a forma geral de p(x).

Passo 2

Escrevendo p(x)=ax^2+bx+c, a condição p(-1)=0
p(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c = a - b + c = 0
Logo obtemos a equação
a - b + c = 0

Passo 3

A derivada é p'(x)=2ax+b. Impondo p'(1)=0 resulta em
p'(1)=2acdot1 + b = 2a + b = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
2a + b = 0, a - b + c = 0,
da primeira equação vem b=-2a. Substituindo na segunda:
a - (-2a) + c = 0 Longrightarrow 3a + c = 0 Longrightarrow c=-3a
Assim
p(x)=ax^2 + bx + c = al(x^2 - 2x - 3r)

Passo 5

Concluímos que todo pin W é um múltiplo escalar de x^2-2x-3. Logo dim W=1 e uma base é
,x^2 - 2x - 3

Resposta

,x^2 - 2x - 3

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