Mostre que o conjunto das matrizes simétricas 2 times 2, ou seja,
W=(ll a & b b & c ) rvert, a, b, c in R
é um subespaço de M2 times 2(R). Encontre uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = a&b[6pt]b&c;|;a,b,cinR
é um subespaço de M2times2(R), e então encontrar uma base de W e sua dimensão. O conteúdo usado será: critério de subespaço (não-vazio, fechado sob soma e escalarização), e definição de base e dimensão.]

Passo 2

Mostramos que é não-vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar:
. A matriz zero
pertence a , então .
. Se
estão em , então
pois continua simétrica.
. Para qualquer ,
Logo é subespaço vetorial.

Passo 3

Qualquer matriz Ain W pode ser escrita em função de três parâmetros a,b,c. Definimos
E1=1&00&0, E2=0&11&0, E3=0&00&1
Então
A = a,E1 + b,E2 + c,E3
Isso mostra que E1,E2,E3 gera W.

Passo 4

Para ver que E1,E2,E3 é linearmente independente, suponha
alpha E1 + beta E2 + gamma E3 = 0&00&0
Comparando entradas, obtemos
alpha = 0, beta = 0, gamma = 0
Logo só a combinação trivial leva à matriz zero, o que mostra independência.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes que geram W, concluímos que esses vetores formam uma base de W e que
dim(W) = 3

Resposta

Uma base de W é
1&00&0, 0&11&0, 0&00&1 ,
e dim(W)=3.

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