Sejam Sigma1=(O1,(e1, e2, e3)) e Sigma2=(O2,(f1, f2, f3)) dois sistemas de coordenadas tais que f1=2 e1, f2= e1+e3, f3=3 e2-e3 e O2=(0,3,0)Sigma1. Obtenha equações paramétricas da reta
r:[X=(0,0,0)+lambda(1,3,1)]Sigma1
no sistema de coordenadas Sigma2.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas de coordenadas em R^3:
Sigma1=(O1,(vec e1,vec e2,vec e3)) e
Sigma2=(O2,(vec f1,vec f2,vec f3)),
com
vec f1=2vec e1, vec f2=vec e1+vec e3, vec f3=3vec e2-vec e3,
e
O2=(0,3,0)Sigma1
A reta r está em Sigma1 dada por
r:;X=(0,0,0)+lambda,(1,3,1),
ou seja, em coordenadas de Sigma1,
X(lambda)=(lambda,;3lambda,;lambda)
Queremos achar equações paramétricas de r em Sigma2.

Passo 2

Em Sigma2, um ponto X de coordenadas (u,v,w)Sigma2 tem vetor posição em Sigma1
OX =O2 + u,vec f1+v,vec f2+w,vec f3 =(0,3,0) +u,(2,0,0) +v,(1,0,1) +w,(0,3,-1),
pois vec f1=(2,0,0), vec f2=(1,0,1), vec f3=(0,3,-1) em coordenadas Sigma1.

Passo 3

Igualamos esse vetor ao de X(lambda) em Sigma1:
(lambda,,3lambda,,lambda) =(0,3,0)+(2u+v,;3w,;v-w)
Ou seja,
lambda = 2u+v, 3lambda = 3+3w, lambda = v - w

Passo 4

Da segunda equação vem
3lambda=3+3w Longrightarrow w=lambda-1
Da terceira,
lambda=v-w Longrightarrow v=lambda+w =lambda+(lambda-1)=2lambda-1
Finalmente, da primeira
lambda=2u+v Longrightarrow 2u=lambda-v =lambda-(2lambda-1)=1-lambda Longrightarrow u=1-lambda2

Passo 5

Portanto, em Sigma2 as coordenadas de X ao longo de r são
u(lambda)=1-lambda2, v(lambda)=2lambda-1, w(lambda)=lambda-1
Isso significa que, em forma vetorial em Sigma2,
X(lambda) =l(u(lambda),,v(lambda),,w(lambda)r)Sigma2 =l(tfrac12,-1,-1r)Sigma2 +lambda;l(-tfrac12,,2,,1r)Sigma2

Resposta

Em Sigma2, uma representação paramétrica da reta r é
boxed X(lambda)=l(tfrac1-lambda2,;2lambda-1,;lambda-1r)Sigma2,
ou equivalentemente
X(lambda) =l(tfrac12,-1,-1r)Sigma2 +lambda,l(-tfrac12,2,1r)Sigma2

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