Determine uma T.L. T: R^3 R^4 tal que Nuc(T)=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede que a transformação linear
;TcolonR^3toR^4
tenha núcleo
Nuc(T)=(x,y,z)inR^3mid x+y+z=0.
Em outras palavras, queremos que
;T(x,y,z)=0
se e somente se x+y+z=0.

Passo 2

Lembrando que o núcleo de T é
Nuc(T)=vinR^3mid T(v)=0,
ou seja, as soluções da equação vetorial T(x,y,z)=0.

Passo 3

Um modo simples é usar uma forma linear
;f(x,y,z)=x+y+z,
cujo conjunto de zeros é exatamente a reta x+y+z=0.
Como f vai em R, podemos “embutir” esse valor em R^4 declarando
T(x,y,z)=(,f(x,y,z),,0,,0,,0,)=(,x+y+z,,0,,0,,0,)

Passo 4

Vamos checar o núcleo de T:
T(x,y,z)=0Long<=ftrightarrow(x+y+z,0,0,0)=(0,0,0,0) Long<=ftrightarrow x+y+z=0
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Nuc(T)=(x,y,z)mid x+y+z=0,
como desejado.

Resposta

Uma transformação que funciona é
TcolonR^3toR^4, T(x,y,z)=(,x+y+z,,0,,0,,0,)

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