Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1, P1(R) e a base canônica C=1, t. A matriz mudança de base de uma certa base B para a base C é dada por:
[I]C^B=[cc 1 & 1 1 & -1 ]
(a) Quais os vetores da base B ?
Sugestão: as coordenadas dos vetores de B na base B são v1=[l1 0]B e v2=[l0 1]B.
(b) De posse desses vetores, escreva a matriz mudança de base de C para B:[I]B^C.
(c) Verifique que [I]B^C=([I]C^B)^-1.

Passo 1

O enunciado trabalha em P1(R) com base canônica
C=1,;t
e diz que a matriz de mudança de base de uma certa base B para C é
[I]C^B = 1 & 1 1 & -1
Lembrando que as colunas dessa matriz são as coordenadas, na base C, dos vetores de B. Nosso objetivo é:
(a) descobrir os vetores de B,
(b) escrever a matriz [I]B^C,
(c) confirmar que [I]B^C = ([I]C^B)^-1.

Passo 2

As colunas de [I]C^B dão as coordenadas dos vetores de B na base C. Seja
v1 com coordenadas 11C, v2 com coordenadas 1-1C
Isso significa
v1 = 1cdot 1 + 1cdot t = 1 + t, v2 = 1cdot 1 + (-1)cdot t = 1 - t
Logo
B = ,1+t,;1-t

Passo 3

Para achar [I]B^C podemos inverter [I]C^B. Calculemos o determinante:
det([I]C^B) = (1)(-1) - (1)(1) = -2
Assim
([I]C^B)^-1 = 1-2 -1 & -1 -1 & 1 = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12
Esse é [I]B^C, pois dá as coordenadas dos vetores de C na base B.

Passo 4

Basta observar que multiplicar
tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12
por
1 & 1 1 & -1
gera a identidade 2times2. Portanto
[I]B^C = ([I]C^B)^-1

Resposta

(a) B=,1+t,;1-t.
(b) I_{B}^{C}= tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & -tfrac12.
(c) De fato [I]B^C=([I]C^B)^-1.]

Exercícios relacionados