No espaço P(\mathbb{R}) dos polinômios reais, determine se os vetores \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} abaixo são linearmente dependentes
\boldsymbol{u}=t^{3}-3 t^{2}+5 t+1 ; \boldsymbol{v}=t{3}-t{2}+8 t+2 ; \boldsymbol{w}=2 t^{3}+4 t^{2}+9 t+7
\boldsymbol{u}=t^{3}-3 t^{2}+5 t+1 ; \boldsymbol{v}=t{3}-t{2}+8 t+2 ; \boldsymbol{w}=2 t^{3}+4 t^{2}+9 t+7
Passo 1
Temos os polinômios
,
e
em
. Queremos ver se existem escalares
, não todos zero, tais que
Para isso vamos usar a definição de dependência linear e montar o sistema que iguala a zero cada coeficiente de
.
Passo 2
Escrevendo
e igualando a zero, obtemos o sistema homogêneo
Passo 3
Resolvendo por eliminação:
Da primeira equação,
Da primeira equação,
Substituindo na segunda,
Logo
Agora na terceira equação:
Então
b=-5c=0 e
a=3c=0 . A quarta equação fica satisfeita automaticamente.
Passo 4
A única solução do sistema é
a=b=c=0 , isto é, não há combinação não trivial que anule
au+bv+cw . Portanto os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
u ,
v e
w são linearmente independentes.