No espaço P(\mathbb{R}) dos polinômios reais, determine se os vetores \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} abaixo são linearmente dependentes
\boldsymbol{u}=t^{3}-3 t^{2}+5 t+1 ; \boldsymbol{v}=t{3}-t{2}+8 t+2 ; \boldsymbol{w}=2 t^{3}+4 t^{2}+9 t+7

Passo 1

Temos os polinômios
u=t^3-3t^2+5t+1,
v=t^3-t^2+8t+2 e
w=2t^3+4t^2+9t+7 em P(R). Queremos ver se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
au+bv+cw=0
Para isso vamos usar a definição de dependência linear e montar o sistema que iguala a zero cada coeficiente de t^3,t^2,t,1.

Passo 2

Escrevendo
au+bv+cw = a(t^3-3t^2+5t+1)+b(t^3-t^2+8t+2)+c(2t^3+4t^2+9t+7)
e igualando a zero, obtemos o sistema homogêneo
a + b + 2c = 0, -3a - b + 4c = 0, 5a + 8b + 9c = 0, a + 2b + 7c = 0

Passo 3

Resolvendo por eliminação:
Da primeira equação,
a = -,b - 2c
Substituindo na segunda,
-3(-b-2c) - b +4c = 0 ;Longrightarrow; 2b +10c = 0 ;Longrightarrow; b = -5c
Logo
a = -(-5c)-2c = 3c
Agora na terceira equação:
5a +8b +9c = 5(3c) +8(-5c) +9c = 15c -40c +9c = -16c = 0 ;Longrightarrow; c = 0
Então b=-5c=0 e a=3c=0. A quarta equação fica satisfeita automaticamente.

Passo 4

A única solução do sistema é a=b=c=0, isto é, não há combinação não trivial que anule au+bv+cw. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Exercícios relacionados