No espaço das matrizes 3 times 3 reais diagonais, cuja base canônica é
C=(lll 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ),(lll 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ),(lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 )
considerando a matriz mudança de base
[I]B^C=[ccc 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 ]
obtenha
(a) [v]B onde [v]C=[c-1 2 3]C
(b) [u]C onde [u]B=[c-1 2 3]B
(c) Escreva explicitamente os vetores u e v obtidos acima.

Passo 1

O enunciado define o espaço V das matrizes 3times3 reais diagonais, tem a base canônica
C=E11,E22,E33
e outra base B cujos vetores, em coordenadas de C, formam as colunas da matriz de mudança de base
[I]B^C = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1
Como sempre em mudança de base:
l[xr]C = [I]B^C,l[xr]B e, invertendo,
l[xr]B = l([I]B^Cr)^-1,l[xr]C

Passo 2

Para (a) temos
Chamando , as equações são
Dessas obtemos e .

Passo 3

Concluímos que
l[vr]B = 2-3-1

Passo 4

Para (b) temos l[ur]B = -123 e queremos l[ur]C = [I]B^C,l[ur]B. Fazendo o produto:
1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 !-123 = 11-4

Passo 5

Finalmente, em (c) cada vetor se escreve como combinação dos Eii. Assim:
v = -1,E11 + 2,E22 +3,E33 e
u = 1,E11 +1,E22 -4,E33.
Em forma matricial diagonal:
v = -1&0&00&2&00&0&3, u = 1&0&00&1&00&0&-4

Resposta

(a) l[vr]B = 2-3-1
(b) l[ur]C = 11-4
(c) v = -1&0&00&2&00&0&3, u = 1&0&00&1&00&0&-4

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