Considere o espaço vetorial R^2.
Mostre que ||(x, y)||=|x|+|y| define uma norma em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função $ ||(x, y)|| = |x| + |y| $ é uma norma no espaço vetorial $ \mathbb{R}^{2} $. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma norma e quais propriedades ela deve satisfazer. Basicamente, uma norma é uma função que mede o “tamanho” de um vetor e, para ser considerada uma norma, ela precisa cumprir três regras principais: definição positiva, homogeneidade e desigualdade triangular. Vamos verificar cada uma delas passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a definição positiva. Isso significa que a norma sempre deve ser maior ou igual a zero e que ela só é zero se o vetor for o vetor nulo.
Então, para qualquer vetor $ (x, y) $ em $ \mathbb{R}^{2} $:
(x, y)
Como os valores absolutos $ |x| $ e $ |y| $ são sempre positivos ou zero, a soma deles também será maior ou igual a zero. Além disso, a soma será igual a zero somente se $ |x| = 0 $ e $ |y| = 0 $, ou seja, se $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Portanto, a definição positiva é satisfeita.

Passo 3

Agora vamos verificar a homogeneidade (também conhecida como propriedade de escala). Essa propriedade diz que, se a gente multiplicar o vetor por um escalar $ \alpha $, a norma do novo vetor deve ser igual ao valor absoluto de $ \alpha $ vezes a norma original do vetor.
Então, para qualquer escalar $ \alpha $ e vetor $ (x, y) $:
alpha
Assim, a propriedade de homogeneidade está satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos conferir a desigualdade triangular. Essa propriedade afirma que a norma da soma de dois vetores deve ser menor ou igual à soma das normas dos vetores individualmente.
Sejam $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ dois vetores em $ \mathbb{R}^{2} $:
(x1, y1)
Sabemos que, para os valores absolutos:
(x2, y2)
R^2
Somando essas duas desigualdades, temos:
||(x1 + x2, y1 + y2)|| = |x1 + x2| + |y1 + y2|
|x1 + x2| <= |x1| + |x2|
Portanto, a desigualdade triangular também é satisfeita.

Resposta

Concluímos que a função $ ||(x, y)|| = |x| + |y| $ satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma norma no espaço vetorial $ \mathbb{R}^{2} $.

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