Considere o espaço vetorial real U=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3} ; p(-1)=p(1)=0\right\} com produto interno
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^{1} p^{\prime}(x) q^{\prime}(x) d x, \quad \forall p, q \in U
(a) Prove que a função
\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t
define um produto interno em
\mathcal{C}([a, b])
, quaisquer que sejam
f, g \in \mathcal{C}([a, b])
.
(b) Prove, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
\left|\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t\right| \leq\left(\int_{a}^{b}(f(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{b}(g(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}
(c) Calcule o ângulo formado entre as funções
f(t)=1
e
g(t)=t
, com relação ao produto interno dado no item a), assumindo que no intervalo de integração se tenha
a=0
e
b=1
.
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço
S=\left[1-x^{2}\right]
em
U
com relação ao produto interno
\langle\cdot, \cdot\rangle
definido acima.

Passo 1

O enunciado explora espaços de funções com produto interno e pede:
– (a) mostrar que
\langle f,g\rangle = \int_{a}^{b} f(t)\,g(t)\,dt
define de fato um produto interno em \mathcal{C}([a,b]);
– (b), usando Cauchy–Schwarz, demonstrar
\Bigl|\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt\Bigr|\le \Bigl(\int_{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int_{a}^{b}g(t)^{2}\,dt\Bigr)^{1/2};
– (c1) calcular o ângulo entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1] com esse produto interno;
– (c2) no espaço
U=\{p\in\mathcal{P}_{3}\mid p(-1)=p(1)=0\},
com produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p'(x)\,q'(x)\,dx,
determinar uma base de S^{\perp} onde S=\operatorname{span}\{\,1-x^{2}\}.

Passo 2

Provar que \langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f\,g é produto interno em \mathcal{C}([a,b]):
  1. Simetria:
    \langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f\,g=\int_{a}^{b}g\,f=\langle g,f\rangle. 2. Bilinearidade (linear em cada argumento):
    para escalares \alpha,\beta e funções f_{1},f_{2},g,
    \langle\alpha f_{1}+\beta f_{2},g\rangle =\int_{a}^{b}(\alpha f_{1}+\beta f_{2})\,g =\alpha\int_{a}^{b}f_{1}g+\beta\int_{a}^{b}f_{2}g =\alpha\langle f_{1},g\rangle+\beta\langle f_{2},g\rangle. 3. Definida-positiva:
    \langle f,f\rangle=\int_{a}^{b}f^{2}\ge0, e \int_{a}^{b}f^{2}=0 implica f\equiv0 em [a,b] por continuidade.
Logo é produto interno.

Passo 3

Aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para esse produto interno dá diretamente
\bigl|\langle f,g\rangle\bigr| \le\|f\|\;\|g\| \;\Longrightarrow\; \Bigl|\int_{a}^{b}f\,g\Bigr| \le\Bigl(\int_{a}^{b}f^{2}\Bigr)^{\!1/2}\Bigl(\int_{a}^{b}g^{2}\Bigr)^{\!1/2}.

Passo 4

Calcular o ângulo \theta entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1]: \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}1\cdot t\,dt=\tfrac12, \|f\|=\sqrt{\int_{0}^{1}1\,dt}=1, \|g\|=\sqrt{\int_{0}^{1}t^{2}\,dt}=\sqrt{\tfrac13}. Logo
\cos\theta =\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\|g\|} =\frac{\tfrac12}{1\cdot\sqrt{\tfrac13}} =\frac{\sqrt3}{2},
de onde \theta=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Determinar S^{\perp} em U com \langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p'q'.
  1. Notar \dim U=2 (grau <=3 com duas condições).
  2. Tomar geradores
    h(x)=1-x^{2}\in S e
    v(x)=x-x^{3}\in U (verifica-se v(\pm1)=0).
  3. Calcular
    h'(x)=-2x,\;v'(x)=1-3x^{2} e
    \langle v,h\rangle=\int_{-1}^{1}(1-3x^{2})(-2x)\,dx=0.
Portanto
S^{\perp}=\operatorname{span}\{\,x - x^{3}\}.

Resposta

(a) A função \langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade, logo é produto interno em \mathcal{C}([a,b]).
(b) Da desigualdade de Cauchy–Schwarz segue
\Bigl|\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt\Bigr| \le\Bigl(\int_{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\Bigr)^{1/2} \Bigl(\int_{a}^{b}g(t)^{2}\,dt\Bigr)^{1/2}.
(c) O ângulo entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1] é \theta=\tfrac{\pi}{6}.
O complemento ortogonal de S=\operatorname{span}\{1-x^{2}\} em U é \displaystyle S^{\perp}=\operatorname{span}\{\,x - x^{3}\}.

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