Calcular o ângulo \theta entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1]: \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}1\cdot t\,dt=\tfrac12, \|f\|=\sqrt{\int_{0}^{1}1\,dt}=1, \|g\|=\sqrt{\int_{0}^{1}t^{2}\,dt}=\sqrt{\tfrac13}. Logo
de onde \theta=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.
Passo 5
Determinar S^{\perp} em U com \langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p'q'.
Notar \dim U=2 (grau <=3 com duas condições).
Tomar geradores h(x)=1-x^{2}\in S e v(x)=x-x^{3}\in U (verifica-se v(\pm1)=0).
Calcular h'(x)=-2x,\;v'(x)=1-3x^{2} e \langle v,h\rangle=\int_{-1}^{1}(1-3x^{2})(-2x)\,dx=0.
Portanto
S^{\perp}=\operatorname{span}\{\,x - x^{3}\}.
Resposta
(a) A função \langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade, logo é produto interno em \mathcal{C}([a,b]).
(c) O ângulo entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1] é \theta=\tfrac{\pi}{6}.
O complemento ortogonal de S=\operatorname{span}\{1-x^{2}\} em U é \displaystyle S^{\perp}=\operatorname{span}\{\,x - x^{3}\}.