Seja V=\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}) o espaço das matrizes de ordem n, munido com produto interno
\langle X, Y\rangle=\operatorname{Tr}\left(Y^{t} X\right), \forall X, Y \in V
Mostre que, para toda matriz ortogonal A \in V (i.e, A^{t}=A^{-1} ) e todo X, Y \in V, vale que:
а) \langle A X, A Y\rangle=\langle X, Y\rangle;
b) \|A X\|=\|X\|;
c) o ângulo formado entre A X e A Y é igual ao ângulo formado entre X e Y;
d) \mathbf{d}(A X, A Y)=\mathbf{d}(X, Y), em que \mathbf{d} é a função distância;
e) \|A\|=\sqrt{n}.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V=\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle X,Y\rangle = \mathrm{Tr}\bigl(Y^tX\bigr)
e pede para qualquer matriz ortogonal A (isto é, A^t=A^{-1}) e quaisquer X,Y\in V:
  1. mostrar que \langle AX,AY\rangle=\langle X,Y\rangle;
  2. deduzir que \|AX\|=\|X\|;
  3. concluir que o ângulo entre AX e AY é o mesmo entre X e Y;
  4. que a distância \mathbf d(AX,AY) é igual a \mathbf d(X,Y);
  5. e, por fim, calcular a norma de A em V, definida como \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.
Para resolver, vamos usar propriedades da traça, do produto interno e das definições de norma, ângulo e distância induzidos pelo produto interno.

Passo 2

Para (a), usamos diretamente a definição do produto interno e a ortogonalidade de A:
\langle AX,AY\rangle =\mathrm{Tr}\bigl((AY)^t\,(AX)\bigr) =\mathrm{Tr}\bigl(Y^tA^tA\,X\bigr)
Mas como A^tA=I_n, segue
\mathrm{Tr}\bigl(Y^tI_nX\bigr) =\mathrm{Tr}\bigl(Y^tX\bigr) =\langle X,Y\rangle.

Passo 3

Para (b), lembramos que a norma é dada por \|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}. Então
\|AX\| =\sqrt{\langle AX,AX\rangle} =\sqrt{\langle X,X\rangle} =\|X\|,
pela parte (a).

Passo 4

Para (c), o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores é
\cos\theta \;=\;\frac{\langle X,Y\rangle}{\|X\|\;\|Y\|}.
Como \langle AX,AY\rangle=\langle X,Y\rangle e \|AX\|=\|X\|, \|AY\|=\|Y\|, o valor de \cos\theta não muda ao aplicar A. Portanto \theta permanece o mesmo.

Passo 5

Para (d), a distância é definida por
\mathbf d(X,Y)=\|X-Y\|.
Como
AX-AY = A(X-Y)
e pela parte (b) \|A(X-Y)\|=\|X-Y\|, segue
\mathbf d(AX,AY)=\|AX-AY\|=\|X-Y\|=\mathbf d(X,Y).

Passo 6

Para (e), a norma de A em V é a norma de Frobenius, isto é
\|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle} =\sqrt{\mathrm{Tr}\bigl(A^tA\bigr)}.
Como A é ortogonal, A^tA=I_n e \mathrm{Tr}(I_n)=n. Logo
\|A\| = \sqrt{n}.

Resposta

(a) \langle AX,AY\rangle=\langle X,Y\rangle
(b) \|AX\|=\|X\|
(c) o ângulo entre AX e AY é igual ao ângulo entre X e Y
(d) \mathbf d(AX,AY)=\mathbf d(X,Y)
(e) \|A\|=\sqrt{n}

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