Seja
o espaço das matrizes de ordem
, munido com produto interno
Mostre que, para toda matriz ortogonal
(i.e,
) e todo
, vale que:
а)
;
b)
;
c) o ângulo formado entre
e
é igual ao ângulo formado entre
e
;
d)
, em que
é a função distância;
e)
.
а)
b)
c) o ângulo formado entre
d)
e)
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com o produto interno
e pede para qualquer matriz ortogonal
(isto é,
) e quaisquer
:
- mostrar que
; - deduzir que
; - concluir que o ângulo entre
e é o mesmo entre e ; - que a distância
é igual a ; - e, por fim, calcular a norma de
em , definida como .
Para resolver, vamos usar propriedades da traça, do produto interno e das definições de norma, ângulo e distância induzidos pelo produto interno.
Passo 2
Para (a), usamos diretamente a definição do produto interno e a ortogonalidade de
:
Mas como
, segue
Passo 3
Para (b), lembramos que a norma é dada por
. Então
pela parte (a).
Passo 4
Para (c), o cosseno do ângulo
entre dois vetores é
Como
e
,
, o valor de
não muda ao aplicar
. Portanto
permanece o mesmo.
Passo 5
Para (d), a distância é definida por
Como
e pela parte (b)
, segue
Passo 6
Para (e), a norma de
em
é a norma de Frobenius, isto é
Como
é ortogonal,
e
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(c) o ângulo entre e
é igual ao ângulo entre
e
(d)
(e)
(b)
(c) o ângulo entre
(d)
(e)