Seja \mathcal{C}([a, b]) o conjunto das funções contínuas f:[a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
Prove que a função \langle\cdot, \cdot\rangle definida por
\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t
define um produto interno em \mathcal{C}([a, b]), quaisquer que sejam f, g \in \mathcal{C}([a, b]).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathcal{C}([a,b]), a aplicação
\langle f,g\rangle \;=\;\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt
satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
  1. Simetria: \langle f,g\rangle =\langle g,f\rangle.
  2. Linearidade no primeiro argumento:
    \langle \alpha f+\beta h,\;g\rangle =\alpha\langle f,g\rangle+\beta\langle h,g\rangle.
  3. Positividade definida: \langle f,f\rangle\ge0 com igualdade só se f\equiv0.

Passo 2

Simetria. Para quaisquer f,g\in\mathcal{C}([a,b]), como a multiplicação é comutativa,
f(t)\,g(t)=g(t)\,f(t)\quad\forall\,t\in[a,b].
Integrando ambos os lados,
\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt =\int_{a}^{b}g(t)\,f(t)\,dt \;\Longrightarrow\; \langle f,g\rangle =\langle g,f\rangle.

Passo 3

Linearidade no primeiro argumento. Sejam f,h,g\in\mathcal{C}([a,b]) e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Usamos a linearidade do operador integral:
\langle \alpha f+\beta h,\;g\rangle =\int_{a}^{b}\bigl(\alpha f(t)+\beta h(t)\bigr)\,g(t)\,dt =\alpha\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt +\beta\int_{a}^{b}h(t)\,g(t)\,dt =\alpha\langle f,g\rangle+\beta\langle h,g\rangle.

Passo 4

Positividade definida. Para qualquer f\in\mathcal{C}([a,b]),
\langle f,f\rangle =\int_{a}^{b}f(t)^{2}\,dt.
Como f(t)^{2}\ge0 para todo t, a integral é não negativa: \langle f,f\rangle\ge0.
Se \langle f,f\rangle=0, então \int_{a}^{b}f(t)^{2}\,dt=0.
Mas uma função contínua f^{2}(t)\ge0 cuja integral é zero deve ser identicamente zero em [a,b]. Logo f(t)=0\ \forall t, ou seja, f\equiv0.

Resposta

Portanto, \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo é um produto interno em \mathcal{C}([a,b]).

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