Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço de
formado pelas matrizes
que satisfazem a condição linear
. Vamos usar o fato de que
tem dimensão 4 e impor essa única restrição para obter a parametrização dos elementos do subespaço.
Passo 2
A condição
é uma equação linear sobre as componentes
. Podemos escolher três variáveis livres e expressar a quarta em função delas. Por exemplo, tomamos
como parâmetros livres e escrevemos
Passo 3
Substituindo
na matriz geral, obtemos
Isso mostra que todo elemento do subespaço é combinação linear dessas três matrizes.]
Resposta
A dimensão do subespaço é
, e uma base conveniente é dada por