Mostre que o espaço vetorial real (
. ) é finitamente gerado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real
é finitamente gerado. O que precisamos usar é a definição de conjunto gerador (ou span): um conjunto
gera
se todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de
.
Passo 2
Definimos os vetores padrão em
:
Tomemos um vetor genérico
. Então podemos escrevê-lo como
Isso mostra que cada vetor de
é combinação linear de
.
Passo 3
Como o conjunto
é formado por apenas quatro vetores e gera todo
, concluímos que
é finitamente gerado.
Resposta
O conjunto
gera
, logo
é finitamente gerado.