Mostre que o espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{4},+,. ) é finitamente gerado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real \mathbb{R}^4 é finitamente gerado. O que precisamos usar é a definição de conjunto gerador (ou span): um conjunto G\subset V gera V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de G.

Passo 2

Definimos os vetores padrão em \mathbb{R}^4:
\mathbf{e}_1 = (1,0,0,0), \quad \mathbf{e}_2 = (0,1,0,0), \quad \mathbf{e}_3 = (0,0,1,0), \quad \mathbf{e}_4 = (0,0,0,1).
Tomemos um vetor genérico (x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4. Então podemos escrevê-lo como
(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1\,\mathbf{e}_1 + x_2\,\mathbf{e}_2 + x_3\,\mathbf{e}_3 + x_4\,\mathbf{e}_4.
Isso mostra que cada vetor de \mathbb{R}^4 é combinação linear de \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4.

Passo 3

Como o conjunto \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\} é formado por apenas quatro vetores e gera todo \mathbb{R}^4, concluímos que \mathbb{R}^4 é finitamente gerado.

Resposta

O conjunto \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\} gera \mathbb{R}^4, logo \mathbb{R}^4 é finitamente gerado.

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