Mostre que o espaço vetorial real ( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),+,. ) é finitamente gerado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), formado por todos os polinômios de grau no máximo 2, é finitamente gerado. O conteúdo é geração de um espaço vetorial e vamos precisar usar a definição de conjunto gerador (span) e exibir um conjunto finito cujas combinações lineares produzam todo elemento de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando que um conjunto S\subset V gera V se todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de S. Dizemos que V é finitamente gerado se existe um S gerador com número finito de elementos.

Passo 3

Considere o conjunto
S = \{\,1,\;x,\;x^2\}.
Todo polinômio p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem a forma
p(x)=a\,x^2 + b\,x + c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Observe que
p(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c\cdot 1
é exatamente uma combinação linear de x^2, x e 1. Logo, p está em \mathrm{span}(S).

Passo 4

Como qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito dessa forma, temos
\mathrm{span}(S) \;=\;\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
O conjunto S é finito (tem três elementos) e gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), provando que o espaço é finitamente gerado.

Resposta

O conjunto \{1,x,x^2\} gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), logo \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é finitamente gerado.

Exercícios relacionados