Mostre que o espaço vetorial real (
. ) é finitamente gerado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real
, formado por todos os polinômios de grau no máximo 2, é finitamente gerado. O conteúdo é geração de um espaço vetorial e vamos precisar usar a definição de conjunto gerador (span) e exibir um conjunto finito cujas combinações lineares produzam todo elemento de
.
Passo 2
Lembrando que um conjunto
gera
se todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de
. Dizemos que
é finitamente gerado se existe um
gerador com número finito de elementos.
Passo 3
Considere o conjunto
Todo polinômio
tem a forma
com
. Observe que
é exatamente uma combinação linear de
,
e
. Logo,
está em
.
Passo 4
Como qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito dessa forma, temos
O conjunto
é finito (tem três elementos) e gera
, provando que o espaço é finitamente gerado.
Resposta
O conjunto
gera
, logo
é finitamente gerado.