Considere o espaço vetorial real
\mathcal{C}^{0}([0, \pi])=\{f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R} ; f é contínua }) munido com o produto interno:
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{\pi} f(t) g(t) d t, \quad \forall f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi])
A distância d=d(f, g) entre as funções f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi]) é definida por
d(f, g)=\|f-g\|
Considere o espaço vetorial real \mathcal{M}(2,3) com produto interno usual
\langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{B}^{t} \cdot \mathbf{A}\right) .
Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right), determine \langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle, \|\mathbf{A}\|, \|\mathbf{B}\|, \cos \theta, onde \theta é o ângulo formado entre as matrizes \mathbf{A} e \mathbf{B} e d(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\| (distância entre as matrizes A e B ).

Passo 1

O enunciado define o espaço \mathcal{M}(2,3) com o produto interno usual
\langle A,B\rangle = \mathrm{Tr}(B^T A)
e pede para calcular:
  1. \langle A,B\rangle,
  2. \|A\|,
  3. \|B\|,
  4. \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre A e B,
  5. d(A,B)=\|B-A\|.
    Vamos usar as definições de produto interno, norma induzida e distância.

Passo 2

Para o produto interno usamos
\langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\,B_{ij}.
Calculando termo a termo:
1\cdot1 + 0\cdot(-2) + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot0 + 1\cdot3 = 1 + 0 + 2 -1 + 0 + 3 = 5.
Logo,
\langle A,B\rangle = 5.

Passo 3

A norma de A é
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+4+1+4+1} = \sqrt{11}.

Passo 4

A norma de B é
\|B\| = \sqrt{\langle B,B\rangle} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+1+1+0+9} = 4.

Passo 5

O cosseno do ângulo \theta satisfaz
\cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\;\|B\|} = \frac{5}{\sqrt{11}\,\cdot4} = \frac{5}{4\sqrt{11}}.

Passo 6

Para a distância, primeiro B - A tem entries
B-A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1\\\\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix},
cuja norma ao quadrado é
0^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 17.
Portanto,
d(A,B) = \|B-A\| = \sqrt{17}.

Resposta

\langle A,B\rangle = 5 \|A\| = \sqrt{11} \|B\| = 4 \cos\theta = \dfrac{5}{4\sqrt{11}} d(A,B) = \sqrt{17}

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