Considere o espaço vetorial real
\mathcal{C}^{0}([0, \pi])=\{f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R} ; f é contínua }) munido com o produto interno:
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{\pi} f(t) g(t) d t, \quad \forall f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi])
A distância d=d(f, g) entre as funções f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi]) é definida por
d(f, g)=\|f-g\|
Calcular a distância entre as funções f(t)=\operatorname{sen} t e g(t)=\cos t.

Passo 1

O enunciado define o espaço \mathcal{C}^{0}([0,\pi]) com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{\pi}f(t)\,g(t)\,dt
e a norma associada
\|h\|=\sqrt{\langle h,h\rangle}.
Pede-se a distância
d(f,g)=\|f-g\|
entre f(t)=\sin t e g(t)=\cos t.

Passo 2

Calculamos a diferença das funções:
(f-g)(t)=\sin t-\cos t.

Passo 3

Escrevemos o quadrado da norma:
\|f-g\|^{2} =\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin t-\cos t\bigr)^{2}dt =\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^{2}t-2\sin t\cos t+\cos^{2}t\bigr)dt.

Passo 4

Usamos \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 e 2\sin t\cos t=\sin(2t). Então
\|f-g\|^{2} =\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\sin(2t)\bigr)dt =\int_{0}^{\pi}1\,dt-\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt =\pi-0 =\pi.

Passo 5

Portanto
\|f-g\|=\sqrt{\pi}
e essa é a distância procurada.

Resposta

\displaystyle d(f,g)=\sqrt{\pi}

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