Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right), determine \langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle, \|\mathbf{A}\|, \|\mathbf{B}\|, \cos \theta, onde \theta é o ângulo formado entre as matrizes \mathbf{A} e \mathbf{B} e d(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\|\mathbf{B}-\mathbf{A}\| (distância entre as matrizes A e B ).
Passo 1
O enunciado define o espaço \mathcal{M}(2,3) com o produto interno usual
\langle A,B\rangle = \mathrm{Tr}(B^T A)
e pede para calcular:
\langle A,B\rangle,
\|A\|,
\|B\|,
\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre A e B,
d(A,B)=\|B-A\|.
Vamos usar as definições de produto interno, norma induzida e distância.