Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno \langle, \rangle . Demonstre que se v e w são vetores quaisquer de V, então valem as relações:
\langle v, w\rangle=\frac{1}{4}\left[\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2}\right] (identidade polar);

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial real V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e define a norma por \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle. Queremos provar a identidade polar
\langle v,w\rangle =\frac{1}{4}\bigl[\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2}\bigr].
Para isso, vamos usar a bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a norma de v+w ao quadrado usando a definição:
\|v+w\|^{2} =\langle v+w,\,v+w\rangle =\langle v,v\rangle+2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle.

Passo 3

De modo análogo, expandimos a norma de v-w ao quadrado:
\|v-w\|^{2} =\langle v-w,\,v-w\rangle =\langle v,v\rangle-2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle.

Passo 4

Agora, subtraindo as duas expansões, obtemos
\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2} =(\langle v,v\rangle+2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle) -(\langle v,v\rangle-2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle) =4\,\langle v,w\rangle.
Dividindo ambos os lados por 4, concluímos a identidade polar.

Resposta

\langle v,w\rangle =\frac{1}{4}\bigl[\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2}\bigr].

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