Considere o espaço vetorial real R^2. A matriz de mudança da base gamma=(1,1),(-2,2) para a base alpha=v1, v2 é dada por
(rr 1 & 0 4 & -2 )
Determine a base alpha. Determine o elemento u in R^2 tal que [u]alpha=binom12.

Passo 1

O enunciado trabalha em R^2 com a base
gamma=g1=(1,1),,g2=(-2,2)
e uma base alpha=v1,v2 desconhecida. A matriz de mudança de coordenadas de gamma para alpha é
P=1&04&-2,
o que significa que, para todo vinR^2, vale
[v]alpha;=;P,[v]gamma
Precisamos encontrar os vetores v1,v2 em coordenadas usuais e depois o vetor u tal que [u]alpha=binom12.

Passo 2

Para obter note que . Se , então
Basta resolver este sistema para .

Passo 3

Para resolvemos
portanto e
Para resolvemos
logo e

Passo 4

Dado [u]alpha=binom12, escrevemos
u=1cdot v1+2cdot v2 =(-3,5)+2(1,-1)=(-1,3)

Resposta

alpha=(-3,5),(1,-1)
u=(-1,3)

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