Sejam
B=(1,0),(0,1), C=(-1,1),(1,1), D=(raiz3, 1),(raiz3,-1)
bases de R^2.
(a) Quais as coordenadas do vetor (3,2) em relação à base B ? E em relação a C ? E em relação a D ?
(b) * Encontre as matrizes de mudança da base B para a base C; da base C para a base D e da base B para a base D.
(c) * Existe alguma relação entre as matrizes de mudança de bases encontradas no item (b)? Qual?

Passo 1

O enunciado pede operações de mudança de base em R^2. No item (a) queremos as coordenadas do vetor v=(3,2) nas bases
B=b1,b2, C=c1,c2 e D=d1,d2, onde
b1=(1,0),;b2=(0,1), c1=(-1,1),;c2=(1,1), d1=(raiz3,1),;d2=(raiz3,-1)
No item (b) queremos as matrizes que convertem coordenadas de uma base para outra, e no (c) observar relação entre elas. Vamos aplicar sistemas lineares para achar as coordenadas e, em seguida, usar inversas de matrizes 2times2 para obter as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Coordenadas de [v=(3,2)) em cada base:
. Em , por defini\c{c}~ao d’a
Logo
. Em , resolvemos
Da soma vem .
Assim
. Em , resolvemos
Da primeira equa\c{c}~ao d’a ,
e .
Logo
]

Passo 3

Matriz de mudan\c{c}a de base BtoC, isto 'e PBtoC tal que
l[vr]C = PBtoC,l[vr]B.
Usamos
l[vr]B=x,e1+y,e2 e resolvemos para expressar e1=(1,0) e e2=(0,1) na base C.
De fato,
(1,0)=alpha,c1+beta,c2 ;Longrightarrow; -alpha+beta=1, ;alpha+beta=0 ;Rightarrow; (alpha,beta)=l(-tfrac12,tfrac12r),
(0,1)=alpha',c1+beta',c2 ;Longrightarrow; -alpha'+beta'=0, ;alpha'+beta'=1 ;Rightarrow; (alpha',beta')=l(tfrac12,tfrac12r)
Portanto
PBtoC = -,tfrac12 & tfrac12[4pt] ;tfrac12 & tfrac12 ]

Passo 4

Matriz de mudan\c{c}a de base CtoD, ou seja PCtoD tal que
l[vr]D=PCtoD,l[vr]C.
Expressamos c1 e c2 na base D.
J’a fizemos sistemas do tipo
c1=(-1,1)=m,d1+n,d2, c2=(1,1)=p,d1+q,d2,
cuja solu\c{c}~ao 'e
(m,n)=l(tfrac1-raiz32,tfrac1+raiz32r), (p,q)=l(tfrac1+raiz32,tfracraiz3-12r)
Logo
PCtoD = tfrac1-raiz32 & tfrac1+raiz32[6pt] tfrac1+raiz32 & tfracraiz3-12 ]

Passo 5

Matriz de mudan\c{c}a BtoD. Podemos compor:
PBtoD = PCtoD;cdot;PBtoC = tfrac12raiz3&tfrac12[4pt] tfrac12raiz3&-tfrac12
Verifica-se que, aplicada a l[vr]B=(3,2), produz exatamente
l[vr]D=(tfracraiz3+22,tfracraiz3-22).
Rela\c{c}~ao entre as matrizes:
PBtoD = PCtoD;circ;PBtoC ]

Resposta

(a)
l[vr]B=32, l[vr]C=-tfrac12[2pt]tfrac52, l[vr]D=tfracraiz3+22[2pt]tfracraiz3-22
(b)
PBtoC = -,tfrac12 & tfrac12[4pt] ;tfrac12 & tfrac12 , PCtoD = tfrac1-raiz32 & tfrac1+raiz32[6pt] tfrac1+raiz32 & tfracraiz3-12 , PBtoD = tfrac12raiz3&tfrac12[4pt] tfrac12raiz3&-tfrac12
(c)
PBtoD = PCtoD;cdot;PBtoC ]

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