Seja A: E longrightarrow F uma transformação linear entre dois espaços vetoriais E e F. Verifique que os conjuntos
N(A)=v in E ; A v=0 subset E I m(A)=A v ; v in E subset F
são subespaços vetoriais respectivamente de E e F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma transformação linear Acolon Eto F, os conjuntos
N(A)=vin E mid A v=0subset E
e
Im(A)=A vmid vin Esubset F
são subespaços vetoriais. Para isso vamos usar a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
  1. W contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma de vetores;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrando que N(A) é subespaço de E:
  1. Como A é linear, A(0)=0, logo 0inN(A).
  2. Sejam u,vinN(A). Então A(u)=0 e A(v)=0. Pela linearidade,
A(u+v)=A(u)+A(v)=0+0=0,
ou seja, u+vinN(A).
3. Para lambdainK e vinN(A), temos
A(lambda v)=lambda,A(v)=lambdacdot 0=0,
logo lambda vinN(A).
Como todas as três propriedades valem, N(A) é subespaço de E.

Passo 3

Mostrando que Im(A) é subespaço de F:
  1. Pelo item anterior, A(0)=0, então 0=A(0)inIm(A).
  2. Sejam y1,y2inIm(A). Então existem u,vin E tais que y1=A(u) e y2=A(v). Pela linearidade,
y1+y2 = A(u)+A(v)=A(u+v)inIm(A)
  1. Para lambdainK e y=A(u)inIm(A),
lambda y=lambda,A(u)=A(lambda u)inIm(A)
Portanto Im(A) satisfaz as três condições e é subespaço de F.

Resposta

Mostramos que tanto N(A) quanto Im(A) contêm o vetor zero e são fechados sob soma e multiplicação escalar. Assim, ambos são subespaços vetoriais, sendo N(A)subset E e Im(A)subset F.

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