Seja
uma transformação linear entre dois espaços vetoriais
e
. Verifique que os conjuntos
são subespaços vetoriais respectivamente de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma transformação linear
, os conjuntos
e
são subespaços vetoriais. Para isso vamos usar a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero; - é fechado sob soma de vetores;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostrando que
é subespaço de
:
- Como
é linear, , logo . - Sejam
. Então e . Pela linearidade,
ou seja,
.
3. Para e
, temos
3. Para
logo
.
Como todas as três propriedades valem, é subespaço de
.
Como todas as três propriedades valem,
Passo 3
Mostrando que
é subespaço de
:
- Pelo item anterior,
, então . - Sejam
. Então existem tais que e . Pela linearidade,
- Para
e ,
Portanto
satisfaz as três condições e é subespaço de
.
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
contêm o vetor zero e são fechados sob soma e multiplicação escalar. Assim, ambos são subespaços vetoriais, sendo
e
.