Considere o R-espaço vetorial W das soluções do sistema linear homogêneo
l 5 x+y+2 z-3 w=0 6 x+y-3 z+2 w=0 3 x+y+12 z-13 w=0
(a) Encontre uma base de W.
(b) Qual a dimensão de W ?

Passo 1

O enunciado pede o espaço das soluções do sistema homogêneo
5x + y + 2z - 3w = 0, 6x + y - 3z + 2w = 0, 3x + y +12z -13w = 0,
isto é, o núcleo de uma matriz de coeficientes em R^4. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma reduzida e, em seguida, parametrizar as variáveis livres para encontrar uma base de W e sua dimensão.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada dos coeficientes e zeramos abaixo do primeiro pivô (coluna de x):
[cccc|c 5 & 1 & 2 & -3 & 0 6 & 1 & -3 & 2 & 0 3 & 1 & 12 & -13 & 0 ]
Fazendo
R2 5R2 - 6R1, R3 5R3 - 3R1,
obtemos
[cccc|c 5 & 1 & 2 & -3 & 0 0 & -1 & -27 & 28 & 0 0 & 2 & 54 & -56 & 0 ]

Passo 3

Agora simplificamos o segundo pivô e eliminamos acima e abaixo dele. Primeiro,
Em seguida
leva a
Por fim, dividindo por para pivô em , chegamos à forma linha reduzida
isto é,
com livres.

Passo 4

Da forma reduzida temos
x = 5z - 5w, y = -27z + 28w,
portanto o vetor solução (x,y,z,w) pode ser escrito como
(x,y,z,w) = z,(5,,-27,,1,,0) ;+; w,(-5,,28,,0,,1)
Logo uma base de W é
(5,-27,1,0),;(-5,28,0,1)

Passo 5

Como encontramos dois vetores independentes geradores de W, a dimensão de W é 2.

Resposta

(a) Uma base de W é
(5,-27,1,0),;(-5,28,0,1)
(b) dim W = 2.

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