Exercício 3.10.14. Dada a matriz
A=(ccc 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 3 )
encontrar, se existe, uma matriz B in M3,2(R) tal que A B=I. Tal matriz è única?

Passo 1

Resumindo, temos
A=0 & 1 & 2-1 & 0 & 3in M2,3(R)
e queremos Bin M3,2(R) tal que
A,B = I2
Chamando as colunas de B de b1,b2inR^3, isso equivale a resolver
A,b1 = e1, A,b2 = e2,
ou seja, dois sistemas lineares com 2 equações e 3 incógnitas.

Passo 2

Para b1=(x1,x2,x3)^T impomos
A,b1 = 10 ;Longrightarrow; x2 + 2x3 = 1, -,x1 + 3x3 = 0

Passo 3

Da segunda equação vem . Substituindo na primeira obtém-se
Logo a solução geral é

Passo 4

Para
Da segunda equação . Assim

Passo 5

Portanto
B = l(b1mid b2r) = 3t & 3s-1 1-2t & -2s t & s , t,sinR
Como aparecem os parâmetros t,s, existem infinitas soluções.

Resposta

Existe sim matriz B tal que AB=I2, porém não é única: há uma família de soluções parametrizada por t,sinR conforme mostrado acima.

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