Exercício 3.10.13. Dada a matriz
A=(cc 2 & 1 0 & 1 -2 & 5 )
encontrar, se existe, uma matriz X in M1,3(R) tal que X A=O. Uma tal matriz è única?

Passo 1

O enunciado dá
A= 2 & 1 0 & 1 -2& 5 in M3times2(R)
e pede uma matriz linha X=(x1,x2,x3)in M1times3(R) tal que
X,A=O1times2
Isso significa achar o espaço nulo à esquerda de A, ou seja, resolver um sistema linear para (x1,x2,x3).

Passo 2

Escrevendo o produto em bloco:
X,A =l(x1,x2,x3r) 2 & 1 0 & 1 -2& 5 =l(,2x1+0cdot x2-2x3,,;x1+x2+5x3r)
Para que isso seja O1times2, precisamos que as duas componentes dessa linha sejam zero.

Passo 3

O produto anula-se exatamente quando
2x1-2x3=0, x1+x2+5x3=0

Passo 4

Da primeira equação vem
2x1-2x3=0Longrightarrow x1=x3
Substituindo na segunda:
x1+x2+5x3=0 Longrightarrow x3+x2+5x3=0 Longrightarrow x2=-6x3
Logo a solução geral é
(x1,x2,x3) =(x3,-6x3,x3) =x3,(1,-6,1),
onde x3inR é parâmetro livre.

Passo 5

Como sobra o parâmetro x3, existem infinitas matrizes X que satisfazem X A=O. Em particular a solução trivial X=(0,0,0) e, para escolher uma não trivial, basta pôr x3=1, por exemplo,
X=(1,-6,1)
Portanto a matriz X não é única: o espaço de soluções é de dimensão 1.

Resposta

As soluções são
X=t,(1,-6,1), tinR,
há infinitas, não é única.

Exercícios relacionados