Exercício 3.10.13. Dada a matriz
encontrar, se existe, uma matriz
X in M1,3(R) tal que
X A=O . Uma tal matriz è única?
Passo 1
O enunciado dá
e pede uma matriz linha
X=(x1,x2,x3)in M1times3(R) tal que
Isso significa achar o espaço nulo à esquerda de
A , ou seja, resolver um sistema linear para
(x1,x2,x3) .
Passo 2
Escrevendo o produto em bloco:
Para que isso seja
O1times2 , precisamos que as duas componentes dessa linha sejam zero.
Passo 3
O produto anula-se exatamente quando
Passo 4
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Logo a solução geral é
onde
x3inR é parâmetro livre.
Passo 5
Como sobra o parâmetro
x3 , existem infinitas matrizes
X que satisfazem
X A=O . Em particular a solução trivial
X=(0,0,0) e, para escolher uma não trivial, basta pôr
x3=1 , por exemplo,
Portanto a matriz
X não é única: o espaço de soluções é de dimensão
1 .
Resposta
As soluções são
há infinitas, não é única.