(3.0) Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e determine se o subconjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=x^{2}\right\} é um subespaço de V, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=x^2\} é um subespaço do espaço vetorial V=\mathbb{R}^3, justificando a resposta.
Informações dadas: V=\mathbb{R}^3 e W é o conjunto de vetores cuja segunda coordenada é o quadrado da primeira coordenada (a coordenada z é livre).

Passo 2

Lembrete didático (o que temos de checar): para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja subespaço, é preciso verificar três coisas equivalentes (podemos usar qualquer combinação destas regras):
  1. W não é vazio (tipicamente verificamos se o vetor zero está em W).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W.
Explicando cada condição com calma:
  • "Vetor zero em W" significa que (0,0,0) deve satisfazer a relação que define W.
  • “Fechado sob adição” quer dizer que, ao somar dois vetores que obedecem à condição y=x^2, o resultado também deve obedecer a essa mesma condição.
  • “Fechado sob multiplicação por escalar” quer dizer que, ao multiplicar um vetor que obedece y=x^2 por qualquer escalar, o vetor resultado também deve obedecer y=x^2.
Na prova/na prova escrita, geralmente basta encontrar uma das condições que falhe (sobre adição ou multiplicação por escalar) para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Verificação do vetor zero (não vazio): o vetor zero de \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na condição que define W:
y=0 \quad\text{e}\quad x^2=0^2=0,
logo 0=0. Portanto (0,0,0)\in W. Ou seja, W não é vazio — essa condição está satisfeita.

Passo 4

Verificação geral de fechamento por adição (argumento simbólico): seja
u=(x_1,y_1,z_1)\in W\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Pela definição de W temos y_1=x_1^2 e y_2=x_2^2. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)=(x_1+x_2,\;x_1^2+x_2^2,\;z_1+z_2).
Para que u+v\in W seria necessário que a segunda coordenada do soma satisfizesse
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2.
Mas
(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2,
logo a igualdade acima exige 2x_1x_2=0. Essa condição não é verdadeira para todos os pares (x_1,x_2) (por exemplo se x_1\neq 0 e x_2\neq 0, geralmente 2x_1x_2\neq 0). Portanto, em geral u+v\notin W. Isso já indica que W pode falhar em ser fechado sob adição.

Passo 5

Contraexemplo numérico (fácil de visualizar e usar na prova): tome
u=(1,1,0)\in W\quad\text{porque}\quad 1=1^2,
e
v=(1,1,0)\in W.
Então
u+v=(2,2,0).
Para que (2,2,0) estivesse em W precisaríamos ter 2=2^2=4, o que é falso. Logo u+v\notin W. Assim W não é fechado sob adição.

Passo 6

Observação extra (multiplicação por escalar): também dá para ver falha na multiplicação por escalar com o mesmo exemplo: pegue u=(1,1,0)\in W e \lambda=2. Então
\lambda u=(2,2,0),
e novamente 2\neq 2^2, logo \lambda u\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalar. Basta uma das falhas (adição ou escalar) para concluir que não é subespaço.

Passo 7

Conclusão final e motivação curta: W contém o vetor zero, mas não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar (temos contraexemplos simples). Portanto W não satisfaz as condições necessárias para ser subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

Não, W não é subespaço de \mathbb{R}^3 (não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar; por exemplo (1,1,0)\in W mas (1,1,0)+(1,1,0)=(2,2,0)\notin W).

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