(3.0) Considere o espaço vetorial
e determine se o subconjunto
é um subespaço de
, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, justificando a resposta.
Informações dadas: e
é o conjunto de vetores cuja segunda coordenada é o quadrado da primeira coordenada (a coordenada
é livre).
Informações dadas:
Passo 2
Lembrete didático (o que temos de checar): para que um subconjunto
de um espaço vetorial
seja subespaço, é preciso verificar três coisas equivalentes (podemos usar qualquer combinação destas regras):
-
não é vazio (tipicamente verificamos se o vetor zero está em ). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicando cada condição com calma:
- "Vetor zero em
" significa que deve satisfazer a relação que define . - “Fechado sob adição” quer dizer que, ao somar dois vetores que obedecem à condição
, o resultado também deve obedecer a essa mesma condição. - “Fechado sob multiplicação por escalar” quer dizer que, ao multiplicar um vetor que obedece
por qualquer escalar, o vetor resultado também deve obedecer .
Na prova/na prova escrita, geralmente basta encontrar uma das condições que falhe (sobre adição ou multiplicação por escalar) para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Verificação do vetor zero (não vazio): o vetor zero de
é
. Substituindo na condição que define
:
logo
. Portanto
. Ou seja,
não é vazio — essa condição está satisfeita.
Passo 4
Verificação geral de fechamento por adição (argumento simbólico): seja
Pela definição de
temos
e
. Então
Para que
seria necessário que a segunda coordenada do soma satisfizesse
Mas
logo a igualdade acima exige
. Essa condição não é verdadeira para todos os pares
(por exemplo se
e
, geralmente
). Portanto, em geral
. Isso já indica que
pode falhar em ser fechado sob adição.
Passo 5
Contraexemplo numérico (fácil de visualizar e usar na prova): tome
e
Então
Para que
estivesse em
precisaríamos ter
, o que é falso. Logo
. Assim
não é fechado sob adição.
Passo 6
Observação extra (multiplicação por escalar): também dá para ver falha na multiplicação por escalar com o mesmo exemplo: pegue
e
. Então
e novamente
, logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalar. Basta uma das falhas (adição ou escalar) para concluir que não é subespaço.
Passo 7
Conclusão final e motivação curta:
contém o vetor zero, mas não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar (temos contraexemplos simples). Portanto
não satisfaz as condições necessárias para ser subespaço de
.
Resposta
Não,
não é subespaço de
(não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar; por exemplo
mas
).