(3.0) Determine se o conjunto \mathbb{R}^{2} com as operações (x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}+1, y+y^{\prime}+1\right) \mathrm{e} \alpha(x, y)=(\alpha x, \alpha y) é um espaço vetorial, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbb{R}^2 com as operações
(x,y) + (x',y') = (x+x'+1,\; y+y'+1)
e
\alpha (x,y) = (\alpha x,\; \alpha y),
onde \alpha\in\mathbb{R}. A pergunta é: “Isso é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R})?”.
Informações relevantes fornecidas: as definições explícitas de adição e de multiplicação por escalar. O objetivo é decidir sim/não e justificar.

Passo 2

O que precisamos verificar (resumidamente): um espaço vetorial exige várias propriedades (axiomas). Vou verificar algumas básicas de adição (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inversos) e as propriedades que relacionam escalares com a adição (distributividades). Se qualquer axioma falhar, já basta para concluir que não é espaço vetorial. Vou checar cada propriedade de modo didático, explicando o que cada uma significa.

Passo 3

Fechamento das operações (explicação e verificação simples).
  • Explicação: “Fechamento” significa que, ao aplicar a operação a elementos do conjunto, o resultado fica no mesmo conjunto.
  • Verificação: para quaisquer (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2 tem-se x+x'+1\in\mathbb{R} e y+y'+1\in\mathbb{R}. Logo (x,y)+(x',y')\in\mathbb{R}^2. Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2 tem-se (\alpha x,\alpha y)\in\mathbb{R}^2. Portanto as operações são fechadas em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Associatividade da adição (o que é e verificação).
  • Explicação: associatividade significa (u+v)+w = u+(v+w) para quaisquer vetores u,v,w.
  • Verificação: seja u=(x,y), v=(x',y'), w=(x'',y'').
    Primeiro calcule u+v=(x+x'+1,\;y+y'+1) e então (u+v)+w = (x+x'+1 + x'' + 1,\; y+y'+1 + y'' + 1) = (x+x'+x''+2,\; y+y'+y''+2).Agora calcule v+w=(x'+x''+1,\;y'+y''+1) e u+(v+w) = (x + x'+x''+1 +1,\; y + y'+y''+1 +1) = (x+x'+x''+2,\; y+y'+y''+2).Os dois resultados coincidem, logo a adição é associativa.

Passo 5

Comutatividade da adição.
  • Explicação: comutatividade significa u+v = v+u.
  • Verificação: (x,y)+(x',y') = (x+x'+1,\;y+y'+1) = (x'+x+1,\;y'+y+1) = (x',y')+(x,y). Portanto comutativa.

Passo 6

Existência do elemento neutro (identidade aditiva).
  • Explicação: elemento neutro e deve satisfazer v+e = v para todo v.
  • Verificação: procuramos e=(e_x,e_y) tal que, para todo (x,y), (x,y) + (e_x,e_y) = (x,y).Pela definição da soma isso dá o sistema x + e_x + 1 = x,\qquad y + e_y + 1 = y.Subtraindo x (respectivamente y) obtemos e_x + 1 = 0 e e_y + 1 = 0, então e_x = -1 e e_y = -1. Logo o elemento neutro é e = (-1,-1).
    Verificação direta: (x,y)+(-1,-1)=(x-1+1,\;y-1+1)=(x,y). Portanto existe identidade aditiva em \mathbb{R}^2 com essa soma.

Passo 7

Existência de inversos aditivos.
  • Explicação: para cada v deve existir -v tal que v+(-v)=e (onde e é o neutro aditivo).
  • Verificação: para v=(x,y) procuramos w=(u,v_y) com (x,y)+(u,v_y)=(-1,-1).Pela definição isto dá x+u+1=-1 e y+v_y+1=-1. Assim u=-2-x e v_y=-2-y. Portanto o inverso aditivo de (x,y) é (-2-x,\,-2-y). Verificação rápida: (x,y)+(-2-x,-2-y)=(x-2-x+1,\;y-2-y+1)=(-1,-1)=e. Logo todos os vetores têm inverso aditivo.

Passo 8

Axiomas envolvendo escalares: verificando a distributividade \alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v.
  • Explicação: um axioma fundamental é que multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores, i.e. para todo \alpha\in\mathbb{R} e u,v\in\mathbb{R}^2 deve valer \alpha(u+v)=\alpha u + \alpha v.
  • Cálculo geral: seja u=(x,y) e v=(x',y'). Primeiro u+v = (x+x'+1,\; y+y'+1).Aplicando o escalar \alpha obtemos \alpha(u+v) = (\alpha(x+x'+1),\; \alpha(y+y'+1)) = (\alpha x + \alpha x' + \alpha,\; \alpha y + \alpha y' + \alpha).Por outro lado \alpha u = (\alpha x,\; \alpha y),\qquad \alpha v = (\alpha x',\; \alpha y'),e então \alpha u + \alpha v = (\alpha x + \alpha x' + 1,\; \alpha y + \alpha y' + 1).Comparando as componentes vemos que \alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v exigiria \alpha x + \alpha x' + \alpha = \alpha x + \alpha x' + 1e \alpha y + \alpha y' + \alpha = \alpha y + \alpha y' + 1,para todos x,y,x',y'. Isso força \alpha = 1. Mas \alpha é qualquer real; para \alpha\neq 1 a igualdade não vale. Portanto a propriedade de distributividade falha em geral.

Passo 9

Exemplo concreto que mostra a falha (para fixar a intuição).
Escolha \alpha=2, u=(0,0), v=(0,0). Então
  • u+v=(1,1) (pois 0+0+1 =1),
  • \alpha(u+v)=2(1,1)=(2,2).
    Mas
  • \alpha u = (0,0) e \alpha v=(0,0),
  • \alpha u + \alpha v = (0,0)+(0,0) = (1,1).
    Logo \alpha(u+v)=(2,2)\neq(1,1)=\alpha u + \alpha v. Assim um dos axiomas fundamentais falha já com escolhas simples.

Passo 10

Conclusão lógica.
Um dos axiomas obrigatórios de espaço vetorial (a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores) não é satisfeito por esta estrutura. Já que basta um axioma falhar para que não seja um espaço vetorial, concluímos que a estrutura dada não é um espaço vetorial.

Resposta

Não; a estrutura falha no axioma \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v (distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores), logo não é um espaço vetorial.

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