(3.0) Determine se o conjunto
com as operações
é um espaço vetorial, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações
e
onde
. A pergunta é: “Isso é um espaço vetorial (sobre
)?”.
Informações relevantes fornecidas: as definições explícitas de adição e de multiplicação por escalar. O objetivo é decidir sim/não e justificar.
Informações relevantes fornecidas: as definições explícitas de adição e de multiplicação por escalar. O objetivo é decidir sim/não e justificar.
Passo 2
O que precisamos verificar (resumidamente): um espaço vetorial exige várias propriedades (axiomas). Vou verificar algumas básicas de adição (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inversos) e as propriedades que relacionam escalares com a adição (distributividades). Se qualquer axioma falhar, já basta para concluir que não é espaço vetorial. Vou checar cada propriedade de modo didático, explicando o que cada uma significa.
Passo 3
Fechamento das operações (explicação e verificação simples).
- Explicação: “Fechamento” significa que, ao aplicar a operação a elementos do conjunto, o resultado fica no mesmo conjunto.
- Verificação: para quaisquer
tem-se e . Logo . Para qualquer e tem-se . Portanto as operações são fechadas em .
Passo 4
Associatividade da adição (o que é e verificação).
- Explicação: associatividade significa
para quaisquer vetores . - Verificação: seja
, , .
Primeiro calculee então Agora calcule e Os dois resultados coincidem, logo a adição é associativa.
Passo 5
Comutatividade da adição.
- Explicação: comutatividade significa
. - Verificação:
. Portanto comutativa.
Passo 6
Existência do elemento neutro (identidade aditiva).
- Explicação: elemento neutro
deve satisfazer para todo . - Verificação: procuramos
tal que, para todo , Pela definição da soma isso dá o sistema Subtraindo (respectivamente ) obtemos e , então e . Logo o elemento neutro é .
Verificação direta:. Portanto existe identidade aditiva em com essa soma.
Passo 7
Existência de inversos aditivos.
- Explicação: para cada
deve existir tal que (onde é o neutro aditivo). - Verificação: para
procuramos com Pela definição isto dá e . Assim e . Portanto o inverso aditivo de é . Verificação rápida: . Logo todos os vetores têm inverso aditivo.
Passo 8
Axiomas envolvendo escalares: verificando a distributividade
.
- Explicação: um axioma fundamental é que multiplicação por escalar distribui sobre a soma de vetores, i.e. para todo
e deve valer . - Cálculo geral: seja
e . Primeiro Aplicando o escalar obtemos Por outro lado e então Comparando as componentes vemos que exigiria e para todos . Isso força . Mas é qualquer real; para a igualdade não vale. Portanto a propriedade de distributividade falha em geral.
Passo 9
Exemplo concreto que mostra a falha (para fixar a intuição).
Escolha ,
,
. Então
Escolha
-
(pois ), -
.
Mas -
e , -
.
Logo. Assim um dos axiomas fundamentais falha já com escolhas simples.
Passo 10
Conclusão lógica.
Um dos axiomas obrigatórios de espaço vetorial (a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores) não é satisfeito por esta estrutura. Já que basta um axioma falhar para que não seja um espaço vetorial, concluímos que a estrutura dada não é um espaço vetorial.
Um dos axiomas obrigatórios de espaço vetorial (a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores) não é satisfeito por esta estrutura. Já que basta um axioma falhar para que não seja um espaço vetorial, concluímos que a estrutura dada não é um espaço vetorial.
Resposta
Não; a estrutura falha no axioma
(distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores), logo não é um espaço vetorial.