Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.

Passo 1

O enunciado diz: “Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.”\n
Informações dadas:
\bullet Existem duas retas paralelas (vou chamar de \ell_1 e \ell_2).\n
\bullet Uma reta transversal t corta ambas as retas \ell_1 e \ell_2.\n
O que é pedido:
Provar que quaisquer dois ângulos correspondentes formados por essa configuração têm a mesma medida (são congruentes).\n
Observação: não vou assumir nada além do que o enunciado dá; vou explicar cada conceito necessário passo a passo.

Passo 2

Definições e ideia básica que vou usar (explicadas devagar, como combinamos):\n
\bullet Duas retas são paralelas quando nunca se encontram, isto é, mantêm a mesma “direção” ao longo do plano.\n
\bullet Uma reta transversal é uma reta que corta as duas retas paralelas em dois pontos distintos.\n
\bullet Ângulos correspondentes são os ângulos que ocupam a mesma posição relativa em cada intersecção: por exemplo, se na intersecção com \ell_1 eu tomo o ângulo superior-esquerdo, então o ângulo superior-esquerdo na intersecção com \ell_2 é o correspondente a ele.\n
Estratégia de prova (intuição): vou escolher um sistema de coordenadas que torne \ell_1 e \ell_2 horizontais — isso é permitido porque rotações e traslações do plano preservam medidas de ângulo — e então analisar o ângulo formado pela transversal com as horizontais usando a relação entre declive (slope) e tangente do ângulo. Essa abordagem é direta e usa conceitos algébricos elementares (reta, declive, tangente).

Passo 3

Colocando as retas em uma posição conveniente no plano coordenado:\n
Sem perder generalidade (WLOG — “without loss of generality”), tomo as paralelas como retas horizontais:
\ell_1: y=0
\ell_2: y=c
com algum c\neq 0. A transversal t é uma reta que corta ambas; o caso geral é uma reta não vertical, que posso escrever como
t: y = m x + b,
onde m é o declive (slope) e b é o intercepto. (Se a transversal for vertical eu vou tratar como caso especial depois.)
Explicação do porquê posso fazer isso: uma rotação do plano transforma quaisquer duas retas paralelas em duas retas paralelas horizontais; rotações preservam medidas de ângulo, portanto provar o resultado nessa posição é suficiente para o caso geral.

Passo 4

Conexão entre declive \,m e ângulo formado com a horizontal:\n
Se uma reta não vertical tem equação y=mx+b, então o ângulo \theta que essa reta faz com o semi-eixo positivo dos x satisfaz
\tan(\theta)=m.
Explicação didática: imagine uma subida de m unidades na vertical ao avançar 1 unidade na horizontal — isso é exatamente a definição geométrica da tangente do ângulo que a reta faz com a direção horizontal. Assim, o número m determina a medida do ângulo (até adições de 180^\circ, mas as posições relativas de ângulos correspondentes levam isso em conta corretamente).

Passo 5

Identificando os ângulos correspondentes e calculando suas medidas:\n
Na intersecção de t com \ell_1 (que está em y=0) aparecem quatro ângulos; escolha um ângulo correspondente (por exemplo, o ângulo que está acima à esquerda da intersecção). A medida desse ângulo é relacionada com \theta (o ângulo entre t e a direção horizontal): dependendo da posição, a medida será \theta ou 180^\circ-\theta. O ponto importante é que a medida depende apenas de \theta (ou do seu suplementar), que por sua vez depende só de m.\n
Na intersecção de t com \ell_2 (em y=c) o ângulo correspondente ocupa a mesma posição relativa em relação à reta paralela \ell_2 e à transversal t. A medida desse ângulo também será \theta (ou 180^\circ-\theta) pelo mesmo raciocínio, porque em ambos os encontros o ângulo é formado entre a mesma reta t e uma reta horizontal (agora \ell_2).\n
Concluímos que as medidas dos dois ângulos correspondentes são iguais, já que ambos são expressíveis pelo mesmo número \theta (ou pelo mesmo suplementar 180^\circ-\theta).

Passo 6

Tratar o caso especial: transversal vertical\n
Se a transversal t for vertical (equação x = k), então em cada intersecção com \ell_1 e \ell_2 os ângulos formados são ângulos retos ( 90^\circ) ou seus suplementares ( 90^\circ também no sentido oposto). Portanto, cada par de ângulos correspondentes mede 90^\circ (ou são ambos 90^\circ no caso de posição correspondente), logo são congruentes. Assim o caso vertical também está coberto.

Passo 7

Resumo lógico e fechamento da prova:\n
Colocando as paralelas como horizontais vimos que qualquer ângulo correspondente é obtido pelo ângulo \theta entre a transversal e a horizontal (ou pelo suplementar 180^\circ-\theta), e esse \theta é o mesmo nas duas interseções porque a reta transversal é a mesma e a direção das paralelas é a mesma. Portanto o par de ângulos correspondentes tem a mesma medida. O caso vertical também dá ângulos iguais. Assim, em todos os casos, ângulos correspondentes formados por uma transversal que corta duas retas paralelas são congruentes.

Resposta

Os ângulos correspondentes são congruentes.

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