Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.
Passo 1
O enunciado diz: “Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.”\n
Informações dadas:
Existem duas retas paralelas (vou chamar de
e
).\n
Uma reta transversal
corta ambas as retas
e
.\n
O que é pedido:
Provar que quaisquer dois ângulos correspondentes formados por essa configuração têm a mesma medida (são congruentes).\n
Observação: não vou assumir nada além do que o enunciado dá; vou explicar cada conceito necessário passo a passo.
Informações dadas:
O que é pedido:
Provar que quaisquer dois ângulos correspondentes formados por essa configuração têm a mesma medida (são congruentes).\n
Observação: não vou assumir nada além do que o enunciado dá; vou explicar cada conceito necessário passo a passo.
Passo 2
Definições e ideia básica que vou usar (explicadas devagar, como combinamos):\n
Duas retas são paralelas quando nunca se encontram, isto é, mantêm a mesma “direção” ao longo do plano.\n
Uma reta transversal é uma reta que corta as duas retas paralelas em dois pontos distintos.\n
Ângulos correspondentes são os ângulos que ocupam a mesma posição relativa em cada intersecção: por exemplo, se na intersecção com
eu tomo o ângulo superior-esquerdo, então o ângulo superior-esquerdo na intersecção com
é o correspondente a ele.\n
Estratégia de prova (intuição): vou escolher um sistema de coordenadas que torne e
horizontais — isso é permitido porque rotações e traslações do plano preservam medidas de ângulo — e então analisar o ângulo formado pela transversal com as horizontais usando a relação entre declive (slope) e tangente do ângulo. Essa abordagem é direta e usa conceitos algébricos elementares (reta, declive, tangente).
Estratégia de prova (intuição): vou escolher um sistema de coordenadas que torne
Passo 3
Colocando as retas em uma posição conveniente no plano coordenado:\n
Sem perder generalidade (WLOG — “without loss of generality”), tomo as paralelas como retas horizontais:
Sem perder generalidade (WLOG — “without loss of generality”), tomo as paralelas como retas horizontais:
com algum
. A transversal
é uma reta que corta ambas; o caso geral é uma reta não vertical, que posso escrever como
onde
é o declive (slope) e
é o intercepto. (Se a transversal for vertical eu vou tratar como caso especial depois.)
Explicação do porquê posso fazer isso: uma rotação do plano transforma quaisquer duas retas paralelas em duas retas paralelas horizontais; rotações preservam medidas de ângulo, portanto provar o resultado nessa posição é suficiente para o caso geral.
Passo 4
Conexão entre declive
e ângulo formado com a horizontal:\n
Se uma reta não vertical tem equação , então o ângulo
que essa reta faz com o semi-eixo positivo dos
satisfaz
Se uma reta não vertical tem equação
Explicação didática: imagine uma subida de
unidades na vertical ao avançar 1 unidade na horizontal — isso é exatamente a definição geométrica da tangente do ângulo que a reta faz com a direção horizontal. Assim, o número
determina a medida do ângulo (até adições de
, mas as posições relativas de ângulos correspondentes levam isso em conta corretamente).
Passo 5
Identificando os ângulos correspondentes e calculando suas medidas:\n
Na intersecção de com
(que está em
) aparecem quatro ângulos; escolha um ângulo correspondente (por exemplo, o ângulo que está acima à esquerda da intersecção). A medida desse ângulo é relacionada com
(o ângulo entre
e a direção horizontal): dependendo da posição, a medida será
ou
. O ponto importante é que a medida depende apenas de
(ou do seu suplementar), que por sua vez depende só de
.\n
Na intersecção de com
(em
) o ângulo correspondente ocupa a mesma posição relativa em relação à reta paralela
e à transversal
. A medida desse ângulo também será
(ou
) pelo mesmo raciocínio, porque em ambos os encontros o ângulo é formado entre a mesma reta
e uma reta horizontal (agora
).\n
Concluímos que as medidas dos dois ângulos correspondentes são iguais, já que ambos são expressíveis pelo mesmo número (ou pelo mesmo suplementar
).
Na intersecção de
Na intersecção de
Concluímos que as medidas dos dois ângulos correspondentes são iguais, já que ambos são expressíveis pelo mesmo número
Passo 6
Tratar o caso especial: transversal vertical\n
Se a transversal for vertical (equação
), então em cada intersecção com
e
os ângulos formados são ângulos retos (
) ou seus suplementares (
também no sentido oposto). Portanto, cada par de ângulos correspondentes mede
(ou são ambos
no caso de posição correspondente), logo são congruentes. Assim o caso vertical também está coberto.
Se a transversal
Passo 7
Resumo lógico e fechamento da prova:\n
Colocando as paralelas como horizontais vimos que qualquer ângulo correspondente é obtido pelo ângulo entre a transversal e a horizontal (ou pelo suplementar
), e esse
é o mesmo nas duas interseções porque a reta transversal é a mesma e a direção das paralelas é a mesma. Portanto o par de ângulos correspondentes tem a mesma medida. O caso vertical também dá ângulos iguais. Assim, em todos os casos, ângulos correspondentes formados por uma transversal que corta duas retas paralelas são congruentes.
Colocando as paralelas como horizontais vimos que qualquer ângulo correspondente é obtido pelo ângulo
Resposta
Os ângulos correspondentes são congruentes.