(3.0) Seja
. Verifique se
pertence ao espaço
, onde
e
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio
pertence ao espaço
, onde foram dadas as funções
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Temos três polinômios explícitos:
, e . - A pergunta é de pertinência: decidir se
pertence ao conjunto .
Passo 2
O que significa
pertencer a
? Aqui usamos a definição de espaço gerado por
e
:
é o conjunto de todas as combinações lineares de
e
. Ou seja,
pertence a esse espaço quando existem escalares
tais que
Nosso objetivo prático é encontrar, se existirem,
e
que satisfaçam essa igualdade. Se encontrarmos, então
pertence ao espaço; se não existirem, então não pertence.
Passo 3
Vamos escrever a condição
explicitamente, substituindo
,
e
:
Desenvolvendo o lado direito (multiplicando os escalares pelos polinômios) obtemos
Agrupando termos semelhantes por potências de
fica
Passo 4
Agora usamos a propriedade fundamental dos polinômios: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de
Observação: as três equações vêm dos coeficientes de
e do termo independente, respectivamente.]
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Uma maneira direta é combinar as equações. Somando a primeira com a segunda:
No lado esquerdo
cancela com
e
. No direito
. Logo
Agora achamos
substituindo
em uma das equações, por exemplo na primeira:
Como checagem rápida, substituímos
e
na terceira equação:
que coincide com o lado direito da terceira equação. Portanto o sistema é consistente e a solução é
,
.
Passo 6
Verificação direta substituindo
e
na combinação linear:
Calculemos passo a passo:
Somando:
que é exatamente
. Portanto a combinação encontrada reproduz
.
Passo 7
Conclusão explicativa e incentivo: encontramos escalares
e
tais que
. Isso prova que
pertence ao espaço gerado por
e
. Na prática, para questões semelhantes na prova, a técnica é sempre a mesma: escrever
como
, igualar coeficientes e resolver o sistema linear.
Resposta
Sim.