(3.0) Seja \mathcal{P}_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c ; a, b, c \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se r(x)=11 x^{2}-5 x-4 pertence ao espaço [p(x), q(x)], onde p(x)=x^{2}-x+1 e q(x)=-3 x^{2}+x+2. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio r(x)=11x^{2}-5x-4 pertence ao espaço [p(x),q(x)], onde foram dadas as funções
p(x)=x^{2}-x+1
q(x)=-3x^{2}+x+2.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Temos três polinômios explícitos: p(x), q(x) e r(x).
  • A pergunta é de pertinência: decidir se r(x) pertence ao conjunto [p(x),q(x)].

Passo 2

O que significa r(x) pertencer a [p(x),q(x)]? Aqui usamos a definição de espaço gerado por p e q: [p(x),q(x)] é o conjunto de todas as combinações lineares de p e q. Ou seja, r(x) pertence a esse espaço quando existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
r(x)=\alpha\,p(x)+\beta\,q(x).
Nosso objetivo prático é encontrar, se existirem, \alpha e \beta que satisfaçam essa igualdade. Se encontrarmos, então r pertence ao espaço; se não existirem, então não pertence.

Passo 3

Vamos escrever a condição \,r(x)=\alpha p(x)+\beta q(x)\, explicitamente, substituindo p(x), q(x) e r(x):
11x^{2}-5x-4=\alpha\,(x^{2}-x+1)+\beta\,(-3x^{2}+x+2).
Desenvolvendo o lado direito (multiplicando os escalares pelos polinômios) obtemos
\alpha x^{2}-\alpha x+\alpha -3\beta x^{2}+\beta x+2\beta.
Agrupando termos semelhantes por potências de x fica
(\alpha-3\beta)x^{2}+(-\alpha+\beta)x+(\alpha+2\beta).

Passo 4

Agora usamos a propriedade fundamental dos polinômios: dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de cada potência de x\) forem iguais. Comparando coeficientes de \(x^{2}\), \(x\) e do termo constante entre o lado esquerdo e o direito, obtemos o sistema linear para \(\alpha\) e \(\beta\): \[\begin{cases} \alpha-3\beta=11,\\[4pt] -\alpha+\beta=-5,\\[4pt] \alpha+2\beta=-4. \end{cases}
Observação: as três equações vêm dos coeficientes de x^{2}\], \(x e do termo independente, respectivamente.]

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Uma maneira direta é combinar as equações. Somando a primeira com a segunda:
(\alpha-3\beta)+(-\alpha+\beta)=11+(-5).
No lado esquerdo \alpha cancela com -\alpha e -3\beta+\beta=-2\beta. No direito 11-5=6. Logo
-2\beta=6\quad\Rightarrow\quad \beta=-3.
Agora achamos \alpha substituindo \beta=-3 em uma das equações, por exemplo na primeira:
\alpha-3(-3)=11 \quad\Rightarrow\quad \alpha+9=11 \quad\Rightarrow\quad \alpha=2.
Como checagem rápida, substituímos \alpha=2 e \beta=-3 na terceira equação:
\alpha+2\beta=2+2(-3)=2-6=-4,
que coincide com o lado direito da terceira equação. Portanto o sistema é consistente e a solução é \alpha=2, \beta=-3.

Passo 6

Verificação direta substituindo \alpha=2 e \beta=-3 na combinação linear:
2p(x)-3q(x)=2(x^{2}-x+1)-3(-3x^{2}+x+2).
Calculemos passo a passo:
2p(x)=2x^{2}-2x+2,
-3q(x)=-3(-3x^{2}+x+2)=9x^{2}-3x-6.
Somando:
2p(x)-3q(x)=(2x^{2}+9x^{2})+(-2x-3x)+(2-6)=11x^{2}-5x-4,
que é exatamente r(x). Portanto a combinação encontrada reproduz r(x).

Passo 7

Conclusão explicativa e incentivo: encontramos escalares \alpha=2 e \beta=-3 tais que r(x)=2p(x)-3q(x). Isso prova que r(x) pertence ao espaço gerado por p e q. Na prática, para questões semelhantes na prova, a técnica é sempre a mesma: escrever r como \alpha p+\beta q, igualar coeficientes e resolver o sistema linear.

Resposta

Sim. r(x)=2p(x)-3q(x)

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