Dados os pontos A=(1,2,1), B=(6,3,3) e C=(5,8,-2) determine todos os possíveis pontos D sobre o eixo z de tal forma que o volume do tetraedro A B C D seja igual a 10 .
O Volume do tetraedro A B C D é 1 / 6 do produto misto A B \cdot(A C \times A D) (caso seja negativo tomar valor absoluto)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os pontos do enunciado):
Pontos dados:
A=(1,2,1)
B=(6,3,3)
C=(5,8,-2)
O ponto D está sobre o eixo z. Logo podemos escrever D=(0,0,z), onde z é a coordenada desconhecida que vamos achar.
Pede-se: todos os pontos D sobre o eixo z tais que o volume do tetraedro ABCD seja igual a 10.
Fórmula fornecida (que vamos usar): o volume do tetraedro é \dfrac{1}{6} do valor absoluto do produto misto
Vamos primeiro escrever os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} em função de z. Lembrando que, para dois pontos P=(x_p,y_p,z_p) e Q=(x_q,y_q,z_q), \overrightarrow{PQ}=Q-P.
Pequena lição sobre produto vetorial (cross product) e como computá-lo:
O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} é um vetor perpendicular a ambos \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Em coordenadas, se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Agora fazemos o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big). Para \overrightarrow{AB}=(5,1,2) e o vetor acima:
Interpretação rápida e checagem: ambos os valores de z tornam o valor absoluto do produto misto igual a 60, portanto ambos produzem volume 10. Não é necessário mais restrição: qualquer D=(0,0,z) com esses z funciona.