Dados os pontos A=(1,2,1), B=(6,3,3) e C=(5,8,-2) determine todos os possíveis pontos D sobre o eixo z de tal forma que o volume do tetraedro A B C D seja igual a 10 .
O Volume do tetraedro A B C D é 1 / 6 do produto misto A B \cdot(A C \times A D) (caso seja negativo tomar valor absoluto)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os pontos do enunciado):
  • Pontos dados:
    • A=(1,2,1)
    • B=(6,3,3)
    • C=(5,8,-2)
  • O ponto D está sobre o eixo z. Logo podemos escrever D=(0,0,z), onde z é a coordenada desconhecida que vamos achar.
  • Pede-se: todos os pontos D sobre o eixo z tais que o volume do tetraedro ABCD seja igual a 10.
  • Fórmula fornecida (que vamos usar): o volume do tetraedro é \dfrac{1}{6} do valor absoluto do produto misto
V=\frac{1}{6}\big|\; \overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big)\;\big|.
  • Variável incógnita: a coordenada z de D=(0,0,z).

Passo 2

Vamos primeiro escrever os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} em função de z. Lembrando que, para dois pontos P=(x_p,y_p,z_p) e Q=(x_q,y_q,z_q), \overrightarrow{PQ}=Q-P.
Cálculos:
\overrightarrow{AB}=B-A=(6-1,\;3-2,\;3-1)=(5,1,2).
\overrightarrow{AC}=C-A=(5-1,\;8-2,\;-2-1)=(4,6,-3).
\overrightarrow{AD}=D-A=(0-1,\;0-2,\;z-1)=(-1,-2,z-1).

Passo 3

Pequena lição sobre produto vetorial (cross product) e como computá-lo:
  • O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} é um vetor perpendicular a ambos \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Em coordenadas, se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Agora aplicamos isso a \overrightarrow{AC}=(4,6,-3) e \overrightarrow{AD}=(-1,-2,z-1).
Componentes:
  • Componente x:
6\cdot(z-1)-(-3)\cdot(-2)=6(z-1)-6=6z-6-6=6z-12=6(z-2).
  • Componente y:
(-3)\cdot(-1)-4\cdot(z-1)=3-4(z-1)=3-4z+4=7-4z.
(atenção ao sinal: a fórmula dá a segunda componente como u_3v_1-u_1v_3; se usar o determinante lembrando o sinal negativo fica o mesmo resultado)
  • Componente z:
4\cdot(-2)-6\cdot(-1)=-8+6=-2.
Portanto
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=\big(6(z-2),\;7-4z,\;-2\big).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big). Para \overrightarrow{AB}=(5,1,2) e o vetor acima:
\overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big) =5\cdot 6(z-2) + 1\cdot(7-4z) + 2\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
5\cdot 6(z-2)=30(z-2)=30z-60,
1\cdot(7-4z)=7-4z,
2\cdot(-2)=-4.
Somando:
30z-60 + 7-4z -4 = (30z-4z) + (-60+7-4) = 26z + (-57).
Logo o produto misto (que aparece dentro do valor absoluto na fórmula do volume) é
\overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big)=26z-57.

Passo 5

Usamos a fórmula do volume: \dfrac{1}{6}\big|26z-57\big|=10. Isolamos o valor absoluto:
\big|26z-57\big|=60.
Isso gera duas equações lineares:
  1. 26z-57=60.
  2. 26z-57=-60.
Resolver cada uma:
  1. 26z=60+57=117 \Rightarrow z=\dfrac{117}{26}. Simplificando \gcd(117,26)=13, temos z=\dfrac{9}{2}=4{,}5.
  2. 26z=57-60=-3 \Rightarrow z=\dfrac{-3}{26}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: ambos os valores de z tornam o valor absoluto do produto misto igual a 60, portanto ambos produzem volume 10. Não é necessário mais restrição: qualquer D=(0,0,z) com esses z funciona.

Resposta

D=\big(0,0,\tfrac{9}{2}\big)
D=\big(0,0,-\tfrac{3}{26}\big)

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