Seja V=\left\{(a, b, c, d, e) \in \mathbb{R}^{5} \mid a=2 b+c-e\right\}. É correto afirmar que:
a) Se B \subseteq V contém 1 vetor LI então B é uma base de V.
b) Se B \subset V contém 5 vetores e gera V então B é una base de V.
c) Se B \subseteq V contém 3 vetores LI então B é uma base de V.
d) Se B \subseteq V contém 4 vetores e gera V então B é una base de V.
e) Se B \subseteq V contém 2 vetores L I então B é umin base de V.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=\left\{(a,b,c,d,e)\in\mathbb{R}^5 \mid a=2b+c-e\right\}.
Pergunta-se quais das afirmações (a) a (e) são corretas:
a) Se B\subseteq V contém 1 vetor linearmente independente então B é uma base de V.
b) Se B\subset V contém 5 vetores e gera V então B é uma base de V.
c) Se B\subseteq V contém 3 vetores linearmente independentes então B é uma base de V.
d) Se B\subseteq V contém 4 vetores e gera V então B é uma base de V.
e) Se B\subseteq V contém 2 vetores linearmente independentes então B é uma base de V.
Informações úteis fornecidas: a equação linear que define V (uma restrição entre as coordenadas em \mathbb{R}^5). Não há outras hipóteses adicionais.

Passo 2

Encontrar a dimensão de V e uma descrição paramétrica (isso é fundamental para decidir sobre bases). A condição \;a=2b+c-e\; permite tomar b,c,d,e como parâmetros livres. Escrevendo um vetor genérico de V:
(a,b,c,d,e)=(2b+c-e,\;b,\;c,\;d,\;e).
Agrupando por b,c,d,e obtemos a combinação linear
( a,b,c,d,e )=b\,(2,1,0,0,0)+c\,(1,0,1,0,0)+d\,(0,0,0,1,0)+e\,(-1,0,0,0,1).
Logo todo vetor de V é combinação linear desses quatro vetores
v_1=(2,1,0,0,0),\quad v_2=(1,0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,0,1,0),\quad v_4=(-1,0,0,0,1).

Passo 3

Mostrar que \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) é um conjunto linearmente independente e que gera \(V\). Primeiro, se \[\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0,
então olhando coordenada a coordenada temos o sistema
\begin{cases} 2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_4=0 & (\text{coord. }a)\\\ \alpha_1=0 & (\text{coord. }b)\\\ \alpha_2=0 & (\text{coord. }c)\\\ \alpha_3=0 & (\text{coord. }d)\\\ \alpha_4=0 & (\text{coord. }e) \end{cases}
Da segunda, terceira, quarta e quinta equações vem \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0\]. Portanto os \(v_i são linearmente independentes. Como já mostramos que geram V, concluímos que são uma base de V.

Passo 4

Concluir a dimensão: visto que encontramos uma base com 4 vetores, a dimensão de V é
\dim(V)=4.
Explicação curta: V é o núcleo da forma linear f(a,b,c,d,e)=a-2b-c+e, que tem posto 1, então \dim(\ker f)=5-1=4. O raciocínio paramétrico anterior dá uma construção explícita da base.

Passo 5

Recordando o que é base: um subconjunto B\subseteq V é base de V se e somente se gera V e é linearmente independente. Em particular, em um espaço vetorial de dimensão n qualquer base tem exatamente n vetores. Também valem os fatos úteis:
  • Qualquer conjunto com menos de n vetores não pode gerar todo o espaço (não pode ser base).
  • Qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente (logo não é base).
  • Qualquer conjunto com exatamente n vetores que gera o espaço é automaticamente linearmente independente e, portanto, é base.

Passo 6

Análise da alternativa (a). Afirma: se B\subseteq V contém 1 vetor LI então B é uma base de V.
Justificação: \dim(V)=4. Um único vetor linearmente independente não gera todo o espaço de dimensão 4, falta dimensão. Logo (a) é falsa. Exemplo concreto: \{v_1\} é LI mas não gera V.

Passo 7

Análise da alternativa (b). Afirma: se B\subset V contém 5 vetores e gera V então B é uma base de V.
Justificação: em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto com 5 vetores é linearmente dependente. Mesmo que esses 5 vetores gerem V, por serem dependentes não são uma base (pois falta independência). Portanto (b) é falsa. (Um conjunto que gera e tem mais vetores que a dimensão não é base por excesso de vetores.)

Passo 8

Análise da alternativa (c). Afirma: se B\subseteq V contém 3 vetores LI então B é uma base de V.
Justificação: 3 vetores LI em espaço de dimensão 4 não geram todo o espaço (faltaria uma direção). Logo não podem ser base. Portanto (c) é falsa.

Passo 9

Análise da alternativa (d). Afirma: se B\subseteq V contém 4 vetores e gera V então B é uma base de V.
Justificação: em dimensão 4, qualquer conjunto que gera o espaço e tem exatamente 4 vetores é necessariamente linearmente independente (se fosse dependente, poderia remover um vetor sem perder a geração e obter um conjunto gerador com menos de 4 vetores, contradizendo a dimensão). Logo B é base. Portanto (d) é verdadeira.

Passo 10

Análise da alternativa (e). Afirma: se B\subseteq V contém 2 vetores LI então B é uma base de V.
Justificação: 2 vetores LI são insuficientes para gerar um espaço de dimensão 4. Portanto (e) é falsa.

Resposta

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Falso

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