O plano que é paralelo ao plano 2 x-y+3 z-5=0 e passa pelo ponto (2,4,3) é dado por
Escolha uma opçäc:
◯ a. 4 x-2 y+6 z-18=0
◯ b. -2 x+y-3 z-9=0
◯ c. -6 x+3 y-9 z+3=0
◯ d. 6 x-3 y+9 z+2=0
◯ e. -4 x+2 y-6 z-34=0

Passo 1

O enunciado dá uma reta-plano e um ponto e pede um plano paralelo ao plano dado que passe por esse ponto. Informações importantes fornecidas:
  • Plano dado: 2x - y + 3z - 5 = 0.
  • Ponto pelo qual o novo plano deve passar: (2,4,3).
    A tarefa é encontrar, entre as opções, a equação do plano paralelo ao dado que passa por (2,4,3).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): dois planos são paralelos quando têm o mesmo vetor normal.
  • O vetor normal de um plano escrito como ax+by+cz+d=0 é (a,b,c).
  • Para o plano dado 2x - y + 3z - 5 = 0 o vetor normal é \mathbf{n}=(2,-1,3).
    Logo qualquer plano paralelo terá a mesma tripla de coeficientes em x,y,z; a diferença será apenas no termo constante. Assim a forma geral do plano paralelo é
2x - y + 3z + D = 0,
onde D é uma constante a determinar.

Passo 3

Determinar D exigindo que o plano passe por (2,4,3). Substituir x=2, y=4, z=3 em 2x - y + 3z + D = 0:
2\cdot 2 - 4 + 3\cdot 3 + D = 0.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\qquad 3\cdot 3 = 9,
4 - 4 + 9 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad 9 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -9.
Portanto a equação do plano procurado é
2x - y + 3z - 9 = 0.

Passo 4

Observação sobre equivalência de equações de plano: multiplicar toda a equação por um número real não nulo gera a mesma superfície geométrica (mesmo plano). Multiplicando por 2 a equação encontrada obtemos
2\bigl(2x - y + 3z - 9\bigr) = 4x - 2y + 6z - 18 = 0.
Compare com as opções: a opção (a) é exatamente 4x - 2y + 6z - 18 = 0, que é equivalente ao plano que achamos. Como verificação rápida, substituindo (2,4,3) em 4x - 2y + 6z - 18
4\cdot 2 - 2\cdot 4 + 6\cdot 3 - 18 = 8 - 8 + 18 - 18 = 0,
confirmando que o ponto pertence ao plano da opção (a).

Resposta

(a)

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