Considere o espaço vetorial V=R^4 e os seus subespaços
U=(x, y, z, w) in V ; z=x+y e W=[(1,1,1,0),(3,2,1,0),(5,3,1,0)]
Determinar:
a) Uma base de W.
b) Equações lineares que caracterizam W.
c) Determinar os geradores de U.
d) A dimensão de U.

Passo 1

O enunciado trabalha em V=R^4 com
W=span(1,1,1,0),,(3,2,1,0),,(5,3,1,0)
e
U=(x,y,z,w)in V : z=x+y
Vamos achar uma base de W, as equações lineares que o definem, um conjunto de geradores de U e a dimensão de U.

Passo 2

Para achar uma base de W verificamos dependência linear dos três vetores. Note que
(5,3,1,0)=2,(3,2,1,0)-1,(1,1,1,0),
logo (1,1,1,0), (3,2,1,0) e (5,3,1,0) são linearmente dependentes. Basta, portanto, ficar com
v1=(1,1,1,0), v2=(3,2,1,0),
que são independentes. Assim
v1,v2
é uma base de W.

Passo 3

Para encontrar equações que definem W, seja (x,y,z,w)in W. Como todo vetor em W é combinação linear de v1 e v2, temos
(x,y,z,w)=a,(1,1,1,0)+b,(3,2,1,0),
o que dá
x=a+3b, y=a+2b, z=a+b, w=0
Dessas igualdades segue imediatamente
w=0 e x-2y+z=0
Portanto, W é caracterizado pelo sistema
x-2y+z=0, w=0

Passo 4

A única restrição de U é z=x+y. Tomando x,y,w como parâmetros livres, escrevemos
(x,y,z,w) =x,(1,0,1,0) +y,(0,1,1,0) +w,(0,0,0,1)
Logo, um conjunto de geradores de U é
(1,0,1,0),,(0,1,1,0),,(0,0,0,1)

Passo 5

Como U é definido por uma única equação linear em R^4, a sua dimensão é
4-1=3

Resposta

(a) (1,1,1,0),,(3,2,1,0)
(b) x-2y+z=0,;w=0
(c) (1,0,1,0),,(0,1,1,0),,(0,0,0,1)
(d) dim(U)=3

Exercícios relacionados