Considere o espaço vetorial
e os seus subespaços
Determinar:
a) Uma base de
.
b) Equações lineares que caracterizam
.
c) Determinar os geradores de
.
d) A dimensão de
.
a) Uma base de
b) Equações lineares que caracterizam
c) Determinar os geradores de
d) A dimensão de
Passo 1
O enunciado trabalha em
com
e
Vamos achar uma base de
, as equações lineares que o definem, um conjunto de geradores de
e a dimensão de
.
Passo 2
Para achar uma base de
verificamos dependência linear dos três vetores. Note que
logo
,
e
são linearmente dependentes. Basta, portanto, ficar com
que são independentes. Assim
é uma base de
.
Passo 3
Para encontrar equações que definem
, seja
. Como todo vetor em
é combinação linear de
e
, temos
o que dá
Dessas igualdades segue imediatamente
Portanto,
é caracterizado pelo sistema
Passo 4
A única restrição de
é
. Tomando
como parâmetros livres, escrevemos
Logo, um conjunto de geradores de
é
Passo 5
Como
é definido por uma única equação linear em
, a sua dimensão é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)