Discutir o sistem abaixo em função de a, b e c.
l x+y+a z=2 y+3 z=-c x+2 y+(b+3) z=2

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função dos parâmetros
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: usaremos determinante para saber quando há solução única e análise de posto (ranks) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para os casos (\det A=0].

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & a 0 & 1 & 3 1 & 2 & b+3
Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet1 & 32 & b+3 -1cdotdet0 & 31 & b+3 + acdotdet0 & 11 & 2
Cada menor vale
det1 & 32 & b+3= (b+3)-6 = b-3,
det0 & 31 & b+3=0-3=-3,
det0 & 11 & 2=0-1=-1
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det A = (b-3)-(-3) + acdot(-1) = b-3+3 - a = b - a

Passo 3

Se det A neq 0, isto é, b - a neq 0, então rank(A)=3 e o sistema tem solução única para qualquer c.

Passo 4

Quando b - a = 0, ou seja b=a, temos det A=0. Nesse caso rank(A)<3. Para ver que rank(A)=2, note o menor
det0 & 11 & 2=-1neq 0
Para discutir consistência, observamos que, se b=a, os coeficientes da terceira equação são a soma dos coeficientes da primeira com os da segunda:
(x+2y+(a+3)z) = (x+y+az) + (0cdot x + y + 3z)
Para que o sistema seja consistente, os termos independentes devem satisfazer a mesma relação, isto é,
2 = 2 + (-c) Longrightarrow c=0

Resposta

Para o sistema dado:
  • Se b neq a, então det A = b - a neq 0 e o sistema tem solução única (para todo c).
  • Se b = a e c = 0, então rank(A)=rank([Amid b])=2<3 e o sistema tem infinitas soluções.
  • Se b = a e c neq 0, então rank([Amid b])=3>rank(A)=2 e o sistema é inconsistente (sem solução).

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