O enunciado dá o sistema linear em função do parâmetro
O conteúdo aqui é discussão de soluções de sistemas lineares segundo o valor de (m]. Vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando existe solução única, infinita ou nenhuma, e em seguida analisar cada caso.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e calculamos det A:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & m+1 1 & 1 & m^2
Usando expansão pela primeira linha,
det A =1cdotdet2 & m+11 & m^2 -1cdotdet1 & m+11 & m^2 +1cdotdet1 & 21 & 1
Quando det A neq 0, ou seja para mneq pm 1, o sistema tem solução única. Para encontrá-la, usamos a eliminação por substituição. De x+y+z=1 segue
x = 1 - y - z
Substituindo nas outras duas equações obtemos
y + mz = 1, 1 - z + m^2 z = m ;Longrightarrow; (m^2-1)z = m-1,
logo, para mneqpm1,
z = m-1m^2-1 = 1m+1, y = 1 - mz = 1m+1, x = 1 - y - z = m-1m+1
Passo 4
Quando
A primeira e a terceira são idênticas, e a segunda menos a primeira dá (y+z=1]. Temos assim dois vínculos sobre três incógnitas, compatíveis, gerando infinitas soluções: â
Passo 5
Para
Da primeira sabemos . Como , há contradição e, portanto, nenhuma solução.
Resposta
Para mneqpm1 o sistema tem solução única
(x,y,z)=l(tfracm-1m+1,;tfrac1m+1,;tfrac1m+1r)
Para m=1 há infinitas soluções com ,x=0,;y+z=1
Para m=-1 não há solução.