Discutir o sistem abaixo em função da constante m.
l x+y+z=1 x+2 y+(m+1) z=2 x+y+m^2 z=m

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em função do parâmetro
O conteúdo aqui é discussão de soluções de sistemas lineares segundo o valor de (m]. Vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando existe solução única, infinita ou nenhuma, e em seguida analisar cada caso.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e calculamos det A:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & m+1 1 & 1 & m^2
Usando expansão pela primeira linha,
det A =1cdotdet2 & m+11 & m^2 -1cdotdet1 & m+11 & m^2 +1cdotdet1 & 21 & 1
Isso dá
det A =(2m^2 - (m+1)) - (m^2 - (m+1)) + (1cdot1 - 2cdot1) =2m^2 -m -1 -m^2 +m +1 -1 =m^2 -1 =(m-1)(m+1)

Passo 3

Quando det A neq 0, ou seja para mneq pm 1, o sistema tem solução única. Para encontrá-la, usamos a eliminação por substituição. De x+y+z=1 segue
x = 1 - y - z
Substituindo nas outras duas equações obtemos
y + mz = 1, 1 - z + m^2 z = m ;Longrightarrow; (m^2-1)z = m-1,
logo, para mneqpm1,
z = m-1m^2-1 = 1m+1, y = 1 - mz = 1m+1, x = 1 - y - z = m-1m+1

Passo 4

Quando
A primeira e a terceira são idênticas, e a segunda menos a primeira dá (y+z=1]. Temos assim dois vínculos sobre três incógnitas, compatíveis, gerando infinitas soluções:
â

Passo 5

Para
Da primeira sabemos . Como , há contradição e, portanto, nenhuma solução.

Resposta

Para mneqpm1 o sistema tem solução única
(x,y,z)=l(tfracm-1m+1,;tfrac1m+1,;tfrac1m+1r)
Para m=1 há infinitas soluções com
,x=0,;y+z=1
Para m=-1 não há solução.

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