Considere o sistema de equações
l x+2 y+z-w=1 2 x-y+3 z+w=1 x+7 y-4 w=2 -x+8 y-3 z-5 w=1
a) Encontrar a matriz LRFE linha equivalente à matriz ampliada do sistema, indicando as operações elementares.
b) Classifique o sistema e determine o seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w). Vamos usar o método de eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) para obter a forma linha reduzida por escalonamento (LRFE) da matriz ampliada, identificar o posto (rank) e, a partir disso, classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou impossível) e escrever o conjunto solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e eliminamos x nas linhas 2, 3 e 4 usando a primeira linha como pivô:
[cccc|c 1 & 2 & 1 & -1 & 1 2 & -1 & 3 & 1 & 1 1 & 7 & 0 & -4 & 2 -1 & 8 & -3 & -5 & 1 ]
R2 R2 - 2·R1,\quad
R3 R3 - R1,\quad
R4 R4 + R1
[cccc|c 1 & 2 & 1 & -1 & 1 0 & -5 & 1 & 3 & -1 0 & 5 & -1 & -3 & 1 0 & 10 & -2 & -6 & 2 ]

Passo 3

Agora eliminamos y nas linhas 3 e 4 usando a nova R2:
R3 R3 + R2,\quad
R4 R4 + 2·R2
[cccc|c 1 & 2 & 1 & -1 & 1 0 & -5 & 1 & 3 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Escalonamos e reduzimos totalmente as duas primeiras linhas:
R2 -tfrac15·R2,\quad
R1 R1 - 2·R2
[cccc|c 1 & 0 & tfrac75 & tfrac15 & tfrac35 0 & 1 & -tfrac15 & -tfrac35 & tfrac15 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Esta é a matriz LRFE.

Passo 5

O posto da matriz ampliada (e da matriz dos coeficientes) é , menor que o número de incógnitas . Logo o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Sobram variáveis livres.

Passo 6

Das duas primeiras linhas obtemos
x + tfrac75z + tfrac15w = tfrac35, y - tfrac15z - tfrac35w = tfrac15
Tomando z=s e w=t como parâmetros em R, temos
x = tfrac35 - tfrac75s - tfrac15t, y = tfrac15 + tfrac15s + tfrac35t, z = s, w = t

Resposta

O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
Conjunto solução:
(x,y,z,w)mid x=tfrac35-tfrac75s-tfrac15t,;y=tfrac15+tfrac15s+tfrac35t,;z=s,;w=t,;s,tinR

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