Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{2} : Encontre a matriz de transição da base B=\{(1,2),(3,4)\} para a base C=\{(1,0),(0,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá \mathbb{R}^2 com as bases
B=\{(1,2),(3,4)\},\qquad C=\{(1,0),(0,1)\},
e pede: encontrar a matriz de transição da base B para a base C. Ou seja, encontrar a matriz que transforma as coordenadas de um vetor escritas em B nas coordenadas desse mesmo vetor escritas em C.

Passo 2

Explicando a ideia (passo a passo, sem pressa). Seja P a matriz de transição de B para C. Por definição prática, as colunas de P são as coordenadas, na base C, dos vetores da base B. Em símbolos:
P=\begin{pmatrix} [b_1]_C & [b_2]_C & \cdots \end{pmatrix},
onde b_1,b_2,\dots são os vetores de B e [b_i]_C é o vetor coluna com as coordenadas de b_i na base C.
Motivação curta e intuitiva: se [v]_B são as coordenadas de um vetor v na base B, então P\,[v]_B=[v]_C. Assim, para construir P basta escrever cada vetor de B nas coordenadas da base C e colocar esses vetores como colunas.

Passo 3

Calcular as coordenadas dos vetores de B na base C.
Os vetores de B são b_1=(1,2) e b_2=(3,4). A base C é a base canônica e_1=(1,0),\,e_2=(0,1). Para escrever b_i em C resolvemos b_i = \alpha e_1 + \beta e_2. Mas, como e_1,e_2 são a base padrão, as coordenadas são justamente as componentes dos vetores:
[b_1]_C = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad [b_2]_C = \begin{pmatrix}3\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montar a matriz de transição colocando essas coordenadas como colunas:
P=\begin{pmatrix} [b_1]_C & [b_2]_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cheque rápido para entender o uso: se [v]_B=\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix} então
P\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+3b\\[4pt]2a+4b\end{pmatrix},
que corresponde exatamente ao vetor v=a(1,2)+b(3,4) escrito nas coordenadas da base C. Ou seja, P faz a mudança de coordenadas correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 2 & 4 \end{pmatrix}]

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