Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em
: Encontre a matriz de transição da base
para a base
.
Em
Passo 1
O enunciado dá
com as bases
e pede: encontrar a matriz de transição da base
para a base
. Ou seja, encontrar a matriz que transforma as coordenadas de um vetor escritas em
nas coordenadas desse mesmo vetor escritas em
.
Passo 2
Explicando a ideia (passo a passo, sem pressa). Seja
a matriz de transição de
para
. Por definição prática, as colunas de
são as coordenadas, na base
, dos vetores da base
. Em símbolos:
onde
são os vetores de
e
é o vetor coluna com as coordenadas de
na base
.
Motivação curta e intuitiva: se
são as coordenadas de um vetor
na base
, então
. Assim, para construir
basta escrever cada vetor de
nas coordenadas da base
e colocar esses vetores como colunas.
Passo 3
Calcular as coordenadas dos vetores de
na base
.
Os vetores de
são
e
. A base
é a base canônica
. Para escrever
em
resolvemos
. Mas, como
são a base padrão, as coordenadas são justamente as componentes dos vetores:
Passo 4
Montar a matriz de transição colocando essas coordenadas como colunas:
Passo 5
Cheque rápido para entender o uso: se
então
que corresponde exatamente ao vetor
escrito nas coordenadas da base
. Ou seja,
faz a mudança de coordenadas correta.]