Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em \mathbb{R}^{2} : Se a matriz de mudança de B para C é \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), descreva a relação geométrica entre as bases.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de mudança de base de B para C em \mathbb{R}^{2}:
P=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O que se pede: descrever geometricamente a relação entre as bases B e C.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dada é a matriz de mudança de B para C (isto é, transforma coordenadas em base B nas coordenadas em base C).
  • A matriz é exatamente \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa "matriz de mudança de B para C"?
Se chamarmos P essa matriz, então para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2 vale a relação de coordenadas
[v]_C = P\,[v]_B,
onde [v]_B é o vetor coluna das coordenadas de v na base B e [v]_C é o vetor coluna das coordenadas de v na base C.
Uma propriedade prática importante: as colunas de P são exatamente as coordenadas dos vetores da base B expressos na base C. Ou seja, a primeira coluna de P são as coordenadas de \mathbf{b}_1 em relação a C; a segunda coluna são as coordenadas de \mathbf{b}_2 em relação a C. Isso é uma regra padrão e muito útil para “ler” a relação entre bases.

Passo 3

Aplique a regra das colunas ao caso concreto. As colunas de
P=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
são \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} (primeira coluna) e \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} (segunda coluna). Interpretando essas colunas como coordenadas na base C, obtemos:
\mathbf{b}_1 = 0\mathbf{c}_1 + 1\mathbf{c}_2 = \mathbf{c}_2,
\mathbf{b}_2 = 1\mathbf{c}_1 + 0\mathbf{c}_2 = \mathbf{c}_1.
Portanto, cada vetor da base B coincide com um dos vetores da base C, mas com a ordem trocada: \mathbf{b}_1=\mathbf{c}_2 e \mathbf{b}_2=\mathbf{c}_1.]

Passo 4

Interpretação geométrica e propriedades:
  • Trocar as duas colunas/vetores é simplesmente permutar os eixos definidos pelas bases. Se, por exemplo, C fosse a base canônica (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2), então B=(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1).
  • A ação matricial de P sobre coordenadas é
P\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\[2pt]x\end{pmatrix},
isto é, ela troca as coordenadas (x,y)\mapsto(y,x). Geometricamente, essa transformação é a reflexão em relação à reta \,y=x.
  • Propriedades algébricas que confirmam isso: \,P^2=I (aplicar duas vezes retorna o original) e \det(P)=-1, indicando que a transformação inverte a orientação (reflexão com mudança de orientação).]

Passo 5

Resumo intuitivo e um “jeito de ver” na prova: olhar as colunas da matriz de mudança de base diz imediatamente para qual vetor de C cada vetor de B aponta. Aqui as colunas mostram que os vetores de B são exatamente os de C com ordem trocada — isso já é a descrição geométrica pedida. Se quiser convencer o examinador, vale mencionar também que a transformação correspondente é a reflexão em torno de \,y=x e que \det(P)=-1 (inversão de orientação).

Resposta

\mathbf{b}_1=\mathbf{c}_2 e \mathbf{b}_2=\mathbf{c}_1;; ou seja, B é obtida trocando os vetores de C. Geometricamente, a mudança corresponde à reflexão em relação à reta \,y=x (troca de coordenadas) e tem \det=-1 (inversão de orientação).

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