Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em P_{1}(\mathbb{R}) : Bases B=\{1, t\} e D=\{1+t, 1-t\}. Encontre [I]_{B}^{D}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial P_{1}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 1) e duas bases:
B=\{1,\\ t\}.
D=\{1+t,\\\ 1-t\}.
O que é pedido: encontrar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{D}, isto é, a matriz que transforma coordenadas de um vetor (polinômio) escritas na base B para as coordenadas do mesmo vetor na base D. Em símbolos, para todo v\in P_{1}(\mathbb{R}),
[v]_{D} = [I]_{B}^{D}\,[v]_{B}.
Informações relevantes dadas:
Os vetores da base B são 1 e t.
Os vetores da base D são 1+t e 1-t.
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo do conceito):
A matriz [I]_{B}^{D} tem como colunas as coordenadas, em relação à base D, de cada vetor da base B.
Ou seja: primeira coluna = [\,1\,]_{D} (as coordenadas de 1 na base D); segunda coluna = [\,t\,]_{D} (as coordenadas de t na base D).
Para obter [\,1\,]_{D} vamos escrever 1 como combinação linear de 1+t e 1-t:1 = a(1+t) + b(1-t)e resolver para a,b. As coordenadas serão \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}.
Para obter [\,t\,]_{D} escrevemost = c(1+t) + d(1-t)e resolvemos para c,d. As coordenadas serão \begin{pmatrix}c\\\ d\end{pmatrix}.
Passo 3
Calcular [[,1,]_{D}).
Escrevemos
1 = a(1+t) + b(1-t).
Expandindo o lado direito:
a(1+t)+b(1-t) = (a+b) + (a-b)\,t.
Comparando coeficientes do polinômio (termo constante e termo em t):
Como verificação rápida: se um polinômio tem coordenadas [v]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} (ou seja v=\alpha+\beta t), multiplicando pela matriz obtemos