Considere os espaços vetoriais e as bases fornecidas para resolver os itens de mudança de base e coordenadas.
Em P_{1}(\mathbb{R}) : Bases B=\{1, t\} e D=\{1+t, 1-t\}. Encontre [I]_{B}^{D}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P_{1}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 1) e duas bases:
  • B=\{1,\\ t\}.
  • D=\{1+t,\\\ 1-t\}.
O que é pedido: encontrar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{D}, isto é, a matriz que transforma coordenadas de um vetor (polinômio) escritas na base B para as coordenadas do mesmo vetor na base D. Em símbolos, para todo v\in P_{1}(\mathbb{R}),
[v]_{D} = [I]_{B}^{D}\,[v]_{B}.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores da base B são 1 e t.
  • Os vetores da base D são 1+t e 1-t.

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo do conceito):
  • A matriz [I]_{B}^{D} tem como colunas as coordenadas, em relação à base D, de cada vetor da base B.
  • Ou seja: primeira coluna = [\,1\,]_{D} (as coordenadas de 1 na base D); segunda coluna = [\,t\,]_{D} (as coordenadas de t na base D).
  • Para obter [\,1\,]_{D} vamos escrever 1 como combinação linear de 1+t e 1-t: 1 = a(1+t) + b(1-t)e resolver para a,b. As coordenadas serão \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}.
  • Para obter [\,t\,]_{D} escrevemos t = c(1+t) + d(1-t)e resolvemos para c,d. As coordenadas serão \begin{pmatrix}c\\\ d\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular [[,1,]_{D}).
Escrevemos
1 = a(1+t) + b(1-t).
Expandindo o lado direito:
a(1+t)+b(1-t) = (a+b) + (a-b)\,t.
Comparando coeficientes do polinômio (termo constante e termo em t):
\begin{cases} a+b = 1,\\[4pt] a-b = 0. \end{cases}
Resolvendo: somando as equações 2a=1\] então \(a=\tfrac{1}{2}. Daí b=a=\tfrac{1}{2}.
Portanto
[\,1\,]_{D} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [[,t,]_{D}).
Escrevemos
t = c(1+t) + d(1-t).
Expandindo:
c(1+t)+d(1-t) = (c+d) + (c-d)\,t.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} c+d = 0,\\[4pt] c-d = 1. \end{cases}
Somando as equações: 2c=1\] então \(c=\tfrac{1}{2}. Como c+d=0, tem-se d=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
[\,t\,]_{D} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz [I]_{B}^{D} usando as colunas encontradas: primeira coluna [\,1\,]_{D}, segunda coluna [\,t\,]_{D}. Assim,
[I]_{B}^{D} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Como verificação rápida: se um polinômio tem coordenadas [v]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} (ou seja v=\alpha+\beta t), multiplicando pela matriz obtemos
[I]_{B}^{D}\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\alpha+\tfrac{1}{2}\beta\\[6pt] \tfrac{1}{2}\alpha-\tfrac{1}{2}\beta \end{pmatrix},
que são justamente os coeficientes (\alpha+\beta)/2 e (\alpha-\beta)/2 na base D, pois
v=\alpha+\beta t = \frac{\alpha+\beta}{2}(1+t) + \frac{\alpha-\beta}{2}(1-t).]

Resposta

[I]_{B}^{D} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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