Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se for LI, obtenha uma base (prove) de que contenha .
Se for LD, obtenha uma base para (subespaço gerado por ), e responda se
Passo 1
O enunciado pede para o espaço vetorial e o subconjunto
Precisamos decidir se é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Se for LI, devemos estender a uma base de ; se for LD, devemos extrair uma base de , determinar e ver se .
Passo 2
Em
Isso dá o sistema
Uma solução não-trivial é, por exemplo, , , mostrando a dependência.
Passo 3
Como S é LD, extraímos um subconjunto maximalmente LI que gere o mesmo espaço W=[S]. Os vetores (1,2) e (-1,1) não são múltiplos um do outro, logo são LI. Seja