Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado S subset V é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se S for LI, obtenha uma base (prove) beta de V que contenha S.
Se S for LD, obtenha uma base para W=[S] (subespaço gerado por S ), dim W e responda se W=V
S=(1,2),(-1,1),(3,1) subset R^2 V=R^2

Passo 1

O enunciado pede para o espaço vetorial V=R^2 e o subconjunto
S = (1,2),,(-1,1),,(3,1)
Precisamos decidir se S é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Se for LI, devemos estender S a uma base de R^2; se for LD, devemos extrair uma base de W=[S], determinar dim W e ver se W=V.

Passo 2

Em
Isso dá o sistema
Uma solução não-trivial é, por exemplo, , , mostrando a dependência.

Passo 3

Como S é LD, extraímos um subconjunto maximalmente LI que gere o mesmo espaço W=[S]. Os vetores (1,2) e (-1,1) não são múltiplos um do outro, logo são LI. Seja
beta = (1,2),,(-1,1)
Então beta é uma base de W.

Passo 4

A base beta tem dois vetores, portanto
dim W = 2
Como dim V = 2 também, segue que W = V.

Resposta

S é linearmente dependente.
Uma base de W=[S] é
(1,2),,(-1,1),
dim W = 2 e de fato W=V=R^2.

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